Лекция 14 Полный факторный эксперимент

1. Принятие решений перед планированием эксперимента.

2. Полный факторный эксперимент типа. Его свойства и математическая модель.

Принятие решений перед планированием эксперимента.

 

Исследование на основе теории планирования эксперимента предполагает использование как формальных, так и не формальных процедур. Последние требуют «Интуитивных решений». Перед планированием эксперимента такие решения должны быть приняты по трем вопросам:

Выбор экспериментальной области факторного пространства, выбор основного уровня факторов и выбор интервала варьирования факторов. При этом предполагается, что сама совокупность исследуемых факторов уже сформирована и цель исследования определена.

Выбор экспериментальной области: ( области определения факторного пространства) прежде всего, означает оценку границ областей определения факторов, т.е. возможных диапазонов изменения каждого из выбранных факторов. При этом обычно учитываются ограничения трех типов.

Первый тип- принципиальные ограничения, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль.

Второй тип- ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями: стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонентов, времени ведения процесса.

Третий тип ограничений, с которыми чаще всего приходится иметь дело, определяется конкретными условиями эксперимента: существующей аппаратурой, технологией, организацией.

На данном этапе рекомендуется тщательный анализ и активное использование всей имеющейся априорной информации о каждом из выбранных факторов.

Выбор основного уровня: Основным (нулевым) уровнем называется такое значение фактора, относительно которого осуществляется варьирование данным фактором в ходе эксперимента.

Выбор основного уровня зависит от цели исследования. Если цель исследования заключается в характере влияния факторов на отклик, то в качестве основного уровня следует выбирать середину диапазона возможных значений каждого фактора:

где - натуральное значение верхней границы диапазона изменения j -го фактора;

- натуральное значение нижней границы диапазона изменения j -го фактора;

- натуральное значение основного (нулевого) уровня j -го фактора.

В тех случаях, когда целью эксперимента является поиск оптимальных условий, т.е. условий, при которых отклик достигает оптимального значения, в качестве основного уровня для каждого из факторов выбирают координаты так называемой наилучшей точки:

Это такая точка в k -мерном фактором пространстве, в которой получено наилучшее значение отклика. Если такая точка известна из анализа априорной информации, то полагают:

т.е.

Если априорные значения координат наилучшей точки неизвестны, то рекомендуется случайным образом выбрать несколько (минимум две) точек в факторном пространстве, поставить в них предварительные опыты и на этой основе определить лучшую из них. Найденная точка называется центром плана.

Выбор интервалов варьирования факторов заключается в том, чтобы для каждого фактора выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте. В общем случае уровней может быть больше двух. Мы ограничимся двумя.

Представим себе координатную ось, на которой откладываются натуральные значения j -го фактора:

После выбора основного уровня нам известна точка . тогда два интересующих нас уровня можно изобразить двумя точками (нижний уровень) и (верхний уровень) симметричными относительно основного уровня. Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению фактора, хотя это и не обязательно.

Интервалом варьирования факторов называется число, свое для каждого фактора, прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание - нижний уровни фактора. Обозначается интервал выравнивания через .

Для упрощения записи условий эксперимента масштабы по осям выбирают так, чтобы верхний уровень соответствовал «+1», нижний «-1», а основной-нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью процедуры кодирования факторов:

Где -кодированное значение j -го фактора;

- натуральное значение j -го фактора.

Для получим:

Для = получим:

Для = получим:

Тогда координатная ось преобразуется к виду:

На интервалы варьирования факторов накладываются ограничения сверху и снизу. Интервал не может быть меньше той ошибки, с которой фиксируется уровень фактора (иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми). С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения факторов. Этот перечень ограничений является исчерпывающим для задач первого типа, т.к. в этих задачах и . Что же касается задач оптимизации отклика, то для них такие соотношения в общем случае не выполняются, в силу чего внутри вышеуказанных ограничений еще остается значительная неопределенность, которая устраняется обычно с помощью интуитивных решений. Существенную помощь в принятии таких решений призваны оказать сведения о точности, с которой фиксируются факторы, о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения отклика. Таким же образом, на всех этапах принятия решений перед планированием эксперимента важную роль играет анализ априорной информации.

Когда экспериментальная область факторного пространства определена, основные уровни и интервалы варьирования факторов выбраны можно приступать к планированию эксперимента.

 

Полный факторный эксперимент типа 2^к

Его свойства и математическая модель

Планирование эксперимента заключается в построении матриц Х и ε. Матрица спектра Х, как было установлено, содержит набор возможных сочетаний уровней факторов. Если этот набор является полным (исчерпывающим), то число таких сочетаний равно .

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Если в эксперименте участвуют k факторов и каждый из них варьируется на двух уровнях, то имеет ПФЭ типа 2^k. Матрица спектра при этом содержит N=2^k строк, каждая из которых представляет один из N возможных вариантов сочетаний уровней факторов. Следовательно, для реализации всех вариантов потребуется N опытов. Например для k=2 матрица спектра имеет вид, представленный в таблице 14.1.

Таблица14.1

Матрица спектра плана ПФЭ

Номер опыта/факторы	Х1	Х2
	-	-
	+	-
	-	+
	+	+

 

В таблице приняты обычные обозначения, когда «+» означает «+1» (верхний уровень фактора), а «-» означает «-1» (нижний уровень фактора). Для реализации такого плана потребуется всего N=2² =4 опыта, т.к. полный набор возможных сочетаний уровней двух факторов при n=2 равен четырем. Как видно каждая строка матрицы спектра определяет условия опыта: в первом опыте оба фактора находятся на нижнем уровне, в последнем- на верхнем, а во втором и третьем опытах имеют место смешанные сочетания уровней.

Матрица спектра превращается в матрицу плана, если к ней добавить столбец повторных опытов в каждой строке и столбец для значений отклика. Такая матрица представлена в таблице 14.2.

Таблица 14.2

Номер опыта\факторы	Х1	Х2	Число повторных опытов	Значения отклика
	-	-	n1
	+	-	n2
	-	+	n3
	+	+	n4

 

Обратимcя вновь к матрице спектра, чтобы уяснить правила ее формирования. Для плана 2² не составляет труда установить все возможные комбинации уровней факторов прямым перебором этих комбинаций или их простым запоминанием. С ростом числа факторов возникает потребность в использовании определенных правил. Отметим основные из них:

Правило первое: при добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана выбирается дважды- в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора.

Правило второе: использует перемножение столбцов матрицы. При построчном перемножении двух столбцов произведение единиц с одноименными знаками дает «+1», а с разным – «-1».

При использовании этого правила сначала надо записать исходный план, определить для него знаки произведения Х₁Х₂, а затем повторить исходный план, поменяв у столбца произведений знаки на обратные.

Правило третье: основано на чередовании знаков: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором они чередуются через два, в третьем- через четыре, в четвертом -через восемь и т.д. по степени двойки, начиная с нуля.

Рассмотрим свойства ПФЭ типа 2^k. Они определяются свойствами матрицы спектра. Любая матрица спектра плана ПФЭ типа обладает четырьмя основными свойствами: симметричностью относительно центра плана, выполнением условия нормировки, ортогональностью столбцов и рототабельностью.

Симметричность матрицы спектра означает, что алгебраическая сумма элементов вектор- столбца каждого фактора равна нулю:

Условие нормировки:

Свойство ортогональности: сумма почленных произведений любых двух векторов- столбцов матрицы спектра равна нулю:

Свойство рототабельности означает одну и ту же точность предсказания отклика в задачах первого типа на равных расстояниях от центра плана.

Перечисленные свойства обеспечивают получение качественной математической модели.

ПФЭ типа 2^k позволяет формировать математические модели различной степени сложности. Простейшей из них является линейная модель вида:

где -среднее значение отклика в центре плана (оценка),

- коэффициенты регрессий (оценки) в линейных членах модели.

Как видно, ,

Т.е. коэффициенты регрессии указывают на силу влияния факторов, а их знаки- на направление этого влияния. Они вычисляются по формуле:

Среднее значение отклика в центре плана определяется формулой:

Линейная модель является качественной только в тех случаях, когда поверхность отклика близка по своей геометрической форме к гиперплоскости. Если же в исследуемой подобласти факторного пространства, определяемой соотношениями , это условие нарушается, т.е. имеет место существенная кривизна поверхности отклика, то для ее качественного (адекватного) представления необходимо использовать более сложные, нелинейные модели. Самая полная нелинейная модель, которую позволяет получить ПФЭ типа 2^k, имеет вид:

Входящие в правую часть этого уравнения слагаемые вида представляют так называемые линейные эффекты воздействия факторов на отклик, а все остальные слагаемые представляют эффекты взаимодействия факторов, отражающие нелинейный характер поверхности отклика, при этом взаимодействия вида называются парными или взаимодействиями первого порядка, вида -взаимодействиями второго порядка и т.д. вплоть до взаимодействия (k-1) –го порядка, представленного последним слагаемым, в котором перемножаются кодированные значения всех факторов. На практике обычно используются модели, содержащие взаимодействие первого и второго порядков. Соответствующие коэффициенты регрессии вычисляются по той же схеме, что и коэффициенты линейной модели с той лишь разницей, что в правой части формулы (2.16) под знаком суммы будет стоять произведение y_i на x_jix_ju, если вычисляется коэффициент вида b_ju и т.д.:

В тех случаях, когда предполагается построение нелинейной модели матрица спектра должна содержать столбцы соответствующих взаимодействий. Например, план ПФЭ типа 2² позволяет построить нелинейную модель вида:

Если предполагается построение именно такой модели, то матрица спектра должна иметь вид:

X0	X1	X2	X1X2
+	-	-	+
+	+	-	-
+	-	+	-
+	+	+	+

 

Как видно вектор столбец взаимодействий образуется путем перемножения столбцов соответствующих фактором, участвующим во взаимодействии. Это правило является общим для взаимодействий любого порядка. Знаки именно этого столбца приписываются соответствующими значениями при определении коэффициента:

В заключении отметим, что ПФЭ 2² типа не позволяет учитывать так называемые квадратные эффекты вида , в чем легко убедиться на примере ПФЭ типа 2².

Предположим, по итогам реализации плана этого эксперимента должна быть построена модель вида

Для определения коэффициентов и матрица спектра должна содержать столбцы и . Но эти столбцы неразличимы по знакам. Более того, они совпадают так называемым фиктивным столбцом , знаки которого приписываются при вычислении . Следовательно, квадратичные эффекты автоматически учитываются при определении коэффициента и самостоятельно проявиться не могут. Отсюда следует вывод о том, что значение является суммарной оценкой условного математического ожидания отклика в центре плана и квадратичных эффектов: .

Такая оценка называется смешанной. В то же время остальные оценки смешанными не являются:

Эти оценки, таким образом, являются независимыми друг от друга. Данное положение обеспечивается ортогональностью матрицы планирования.