Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-10-09 | 390 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функционалы, рассматриваемые в части I, имели областью определения множества функций одной переменной. Соответственно, уравнение Эйлера, к которому сводилась вариационная задача, представляло собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
Предположим, что вариационная задача должна быть поставлена и решена для функции нескольких (ради определенности – двух) независимых переменных: . Тогда, если мы продолжим изучение функционалов интегрального вида, то вместо функции следует рассматривать функцию , а вместо однократного интеграла появится двойной, взятый по некоторой области
. (4)
Уточним условия на функцию . Помимо непрерывности в области вместе со своими частными производными, она должна удовлетворять граничным условиям. Остановимся на этом подробнее. В части I для однозначного определения экстремали задавались значения и , т.е. значения функции на границах отрезка . Для функции двух переменных, продолжая аналогию, естественно задать условия на границе области . Обозначим эту границу и потребуем, чтобы
.
На функционал (4) легко обобщается необходимое условие экстремума.
Обозначим для удобства В этих обозначениях функция примет вид .
Теорема. Пусть функция – экстремаль функционала (4). Тогда является решением уравнения:
. (5)
Полученное уравнение представляет собой уравнение в частных производных второго порядка. Если функция зависит только от одной переменной, то оно превращается в уравнение Эйлера. В самом деле, если , то , , , и (5) принимает вид
.
Пример 5. Найти экстремаль функционала
где – единичный круг с центром в начале координат, с граничными условиями .
|
Решение. Пользуясь введенными ранее обозначениями, запишем: . Уравнение (5) имеет вид: , то есть представляет собой уравнение эллиптического типа. Область, на которой ищется решение – внутренность круга (ограниченное множество), граница его – окружность, вдоль которой функция обращается в нуль. Следовательно, искомая экстремаль является решением задачи Дирихле для внутренности круга. Для круговых областей естественно переформулировать задачу, перейдя к полярным координатам :
(6)
Заменой переменных сводим уравнение (6) к однородному (с ненулевыми граничными условиями):
(7)
Как известно из курса уравнений математической физики, решение задачи (7) имеет представление в виде ряда:
.
Учитывая граничные условия, получаем:
,
откуда по формуле для коэффициентов ряда Фурье имеем:
. Следовательно,
, а .
Если функция зависит от переменных, то вариационная задача ставится для функционала, который представляет собой кратный интеграл
(8)
по области . Обобщая вышеприведенную теорему, приходим к выводу, что функция, являющаяся экстремалью функционала (8), необходимо удовлетворяет уравнению:
, где
В частности, для случая трехмерной области получаем следующее необходимое условие экстремума.
Теорема. Пусть функция – экстремаль функционала
.
Тогда является решением уравнения:
, где . (9)
Пример 6. Пусть – прямой круговой цилиндр. Найти экстремаль функционала
,
удовлетворяющую граничным условиям: , .
Решение. Для данного функционала уравнение (9) принимает вид . Поскольку область – цилиндр, то задачу удобнее переформулировать в цилиндрических координатах . Из вида граничных условий заключаем, что задача является осесимметричной. Ее решение не зависит от и является функцией двух переменных: . Следовательно, экстремаль данного функционала есть решение следующей задачи:
|
Полученное уравнение является уравнением в частных производных эллиптического типа и в совокупности с условиями на границе образует задачу Дирихле. Ее решение может быть получено методом разделения переменных.
Будем искать решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям в виде . Разделяя переменные, имеем:
.
Учитывая граничные условия, получаем, что функция является собственной функцией задачи Штурма–Лиувилля:
Как известно, собственные числа этой задачи , а соответствующие собственные функции . Для функции получаем уравнение
,
решением которого являются функции Бесселя мнимого аргумента: . Так как рассматриваемое уравнение и граничные условия являются линейными, то ряд, составленный из найденных функций и
,
при любых коэффициентах также является решением уравнения, удовлетворяющим однородным краевым условиям. Для определения используем последнее граничное условие:
.
Применяя теорему Стеклова, получаем: , при , то есть искомая экстремаль имеет вид:
.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!