Равномерное и неравномерное квантование первичного сигнала

 

Как уже отмечалось, квантование отсчетных значений сигнала применяется для получения конечного числа разрешенных для пе­редачи уровней отсчетов взамен непрерывного бесконечно боль­шого количества их значений. С этой целью предполагаемый диа­пазон мгновенных напряжений сигнала разбивается на N отдель­ных интервалов - шагов квантования (рис.2).

 

Рис.2. Амплитудное квантование непрерывного сигнала и вид амплитудной характеристики квантующего устройства (а) с временной функцией ошибки квантования (б).

 

Здесь U_i – среднее значение соседних разрешенных отсчетов; ∆_i – i- й шаг квантования по напряжению. Если отсчетное значение напряжения сигнала удовлетворяет условию u_i - ∆_i /2 ≤ u ≤ u_{i +} ∆_i /2, то ему присваивается значение i- го уровня квантования u_i.

Квантование приводит к ошибке, которая может быть оценена разностью между истинным отсчетным значением напря­жения сигнала и его квантованной величиной U_i: ∆_квi = u - u_i. В соответствии с рис. 1 полагаем, как это и делается на практике, что амплитудное квантование непрерывного сигнала производится после дискретизации сиг­нала. Амплитудная характеристика квантующего устройства (рис.1, а) представляется ступенчатой функцией, кото­рая может быть выражена в виде суммы идеальной линейной ха­рактеристики и характеристики, определяющей искажения сигна­ла (рис.1, б). Характеристика u_вых = φ (u_вх) имеет два харак­терных участка: зону квантования и зону ограничения. Для пер­вого участка -- U₀ ≤ u_вх ≤ U₀ и второго | u_вх | > U_0. В соответствии с этим различают шумы квантования и шумы ограничения.

В си­стемах с ИКМ определяющими являются шумы квантования. Ошибка квантования, как показано на рис.1, б является вре­менной функцией с резкими скачками, частота которых гораздо больше частоты исходного сигнала и определяется количеством шагов квантования. Спектр ошибки квантования при передаче си­нусоидального сигнала будет дискретным и при передаче реаль­ного сигнала — шумоподобным. Этот спектр значительно шире спектра исходного сигнала; после дискретизации боковые спект­ры за счет ошибки квантования в области основной частоты дис­кретизации и ее гармоник будут перекрываться со спектром сиг­нала. Это позволяет оценить в первом приближении помеху от ошибки квантования мощностью (дисперсией) шумов квантования в спектре (0-0,5)f_д. Дисперсию шумов квантования σ²_кв выражают через вероятность p_i попадания мгновенного напряжения сигнала в рассматриваемый интервал квантования: σ²_квi = p_i ∆²_i /12. При равномерном квантовании, когда ∆_i= const, принимается σ²_квi = ∆²_i /12.

Данная формула показы­вает, что при равномерном квантовании дисперсия (мощность) шумов квантования σ²_кв (Р_кв) определяется лишь шагом квантования и не зависит от уровня сигнала. При заданном динамическом диапазоне сигнала величина ∆ определяет число уровней квантования и, следова­тельно, число разрядов кода m, необходимого для последующего кодирования квантованных отсчетов сигнала. Для определения требуемого числа разрядов кода необходимо определить защищенность (a_кв.) сигнала от шума квантования.

При пороге ограничения U_o вели­чина шага ∆ равномерного квантования в зависимости от числа раз­рядов кода m должна быть равна: ∆ = U_o / 2^m-1 при передаче двуполярных сигналов и при передаче однополярных сигналов ∆ = U_o / 2^m , т.к. возможное число кодируемых уровней напряже­ния соответственно равно 2^m-1 и 2^m. Тогда при передаче синусо­идального сигнала с амплитудой U_m, когда его средняя мощность на сопротивлении в 1 Ом равна P_c=U²_m/2, защищенность сигнала от шума квантования будет равна a_кв.=10 lg(12P_c/∆²) дБ. Под­ставляя значения P_c и ∆ определяем a_кв.=6m+1,8+20lg U_m/ U_o.

Данная формула показывает, что величина a_кв. при равномерном квантовании увеличивается на 6 дБ с увеличением числа разря­дов кода на каждую единицу и при U_m<U₀ она растет прямо пропорционально уровню сигнала в децибелах. Если U_m=U₀, то величина a_кв при данном значении m будет максимальной и рав­ной a_кв.=6m+1,8.

Найдем теперь величину a_кв. при передаче речевого сигнала. Известно, что уровень средней мощности речевых сиг­налов подчиняется нормальному закону распределения со сред­ним значением p₀ = - 13,6 дБ и стандартным отклонением σ =5 дБ. Допуская превышение уровня средней мощности в активном канале с ве­роятностью не более 10^-3 для максимального и минимального его значений, получим р_макс = p₀ + 3,1 σ, р_мин = p₀ + 3,1 σ. если учесть пикфактор речевого сигнала v =12 дБ, то пиковое значение уров­ня с той же вероятностью 10^-3 будет равно р_пик = р_макс+12 = p₀ + 3,1 σ +12 дБ.

 

Рис. 3. Динамический диапазон речевого сигнала

Следовательно, динамический диапазон речевого сигнала, с вероятностью которого необходимо считаться (рис.3), составит d = рпик - рмин = 6,2 σ +12=43 дБ. Если теперь выбрать порог ограничения U0 в соответствии с величиной рпик,то требуемое число m будет равно m=(aкв. + 43 – 1,8)/6. Обычно требуют, чтобы величина aкв. при минимальном уровне средней мощности речевого сигнала была не менее 20 дБ. При максимальном количестве переприемов по тональной частоте, пре­дусматриваемом в перспективных сетях связи и равном 10, указанную величину aкв. для од­ного переприемного участка следует увеличить на 10lg11 = 10,4 дБ и поэтому в качестве рас­четной для одного переприемного участка сле­дует принять величину aкв. = 20+10,4 = = 30,4 дБ. При этом требуемое число разрядов кода будет равно m= 12.

 

Как видно, при равномерном квантовании для получения требуемой защищенности от шу­мов квантования при передаче речевых сигна­лов кодирование должно производиться при достаточно большом числе разрядов кода, что нежелательно. Ведь с увеличением числа раз­рядов кода уменьшается длительность импуль­сов в кодовой группе, соответственно расши­ряется спектр сигнала ИКМ, усложняются уст­ройства кодирования и декодирования и увеличиваются требова­ния к их быстродействию. Кроме того, в случае применения симметричных двоичных кодов могут возникать «шумы молчания» с ам­плитудой напряжения ∆/2. Дисперсия этого шума равна ∆ ²/4 и, следовательно, мощность шумов молчания Р_ш.м. будет в 3 раза больше величины Р_кв. Необходимое число разрядов кода m при передаче речевых сигналов в системе с ИКМ можно заметно уменьшить, если применить неравномерное квантование, когда шаг квантования невелик для слабых сигналов и увеличивается по мере возрастания уровня сигнала. При неравномерном кван­товании, когда шаг квантования в центральной зоне амплитудной характеристики имеет минимальное значение, величина Р_ш.м. су­щественно уменьшается и становится гораздо меньше мощности шумов квантования Р_кв.

При равномерном квантовании защищенность от шумов квантования a_кв. минимальна для наиболее слабых сигналов и увеличивается прямо пропорционально увеличению уровня сигнала. Для выравнивания величины a_кв. в широких пределах применяют неравномерное квантование, которое имеет нелинейную шкалу квантования.

Нелинейная шкала квантования в системах передачи с ИКМ может быть реализована следующими способами: сжатием дина­мического диапазона сигнала перед кодированием с линейной шкалой квантования и последующим его расширением после де­кодирования компандерами мгновенного действия; нелинейным кодированием и декодированием; цифровым компандированием. Все три способа практически равноценны в отношении возмож­ностей выравнивания защищенности от шумов квантования для заданного динамического диапазона сигнала. Однако они отличаются не только схемными решениями, объемом оборудования, но и эксплуатационными характеристиками. Так, нелинейные ко­деки и цифровые компандеры обеспечивают лучшую стабильность характеристик канала. Им не свойственны недостатки, имеющие место при несогласованной работе компрессора и экспандера. Амплитудная характеристика компрессора u_вых = φ(u_вх) пока­зана на рис.4. Шаг квантования в зависимости от величины u_вх определяется крутизной амплитудной характеристики. При неравномерном квантовании применяют компрессоры с амплитудной характеристикой вида: y=[ln(1+μ| u_вх | / U₀)] / ln(1+ μ).

 

 

а) б)

 

Рис. 4. Амплитудная характеристика компрессора (а) и зависимость a_кв. от уровня сигнала для различных μ (б).

 

При μ =100 - 250 выигрыш в помехозащищенности для слабых сигналов за счет неравномерного квантования составляет ∆a_кв. = 26—33 дБ. Увеличение величины a_кв. на 26 дБ при неравномер­ном квантовании позволяет уменьшить число разрядов кода на 26:6 = 4 и, следовательно, обеспечить требуемую защищенность от шумов квантования для наиболее слабых речевых сигналов при 8-разрядном кодировании вместо 12-разрядного кодирования при равномерном квантовании. Такое число разрядов кода соот­ветствует рекомендациям МККТТ для современных систем ИКМ с учетом переприемов по ТЧ.

Поскольку разница между уровнями сигнала и шума (защищенность от шума квантования) величина логарифмическая, все реализации компрессии имеют характеристику, близкую к логарифмической. Наряду с логарифмическими характеристиками компрессии ти­па μ, в системах с ИКМ наибольшее распространение получила 16-сегментная шкала квантования с характеристикой компрессии, соответствующей А -закону (рис.5).

 

Рис. 5. Логарифмическая характеристика компрессии по закону А.

 

 

В этом случае весь динамический диапазон делят на 16 сегментов, по восемь для каждой полярности. В пределах каждого сегмента шаг квантования неизменен. Для сигналов, абсолютная величина которых не превышает , шаг квантования равномерный, в дальнейшем шаг удваивается в каждом следующем сегменте. Эта амплитудная характеристика является линейно-ломанной, основанной на 16-сегментной аппроксимации.

 

Сегменты , , , имеют одинаковый наклон, следовательно, их считают единичным сегментом, следовательно, характеристика компрессора получается 13-сегментной. В пределах каждого сегмента размещается 16 шагов квантования (к = 0,1,…,15).

При 8-разрядном нелинейном кодировании первый разряд несёт информацию о полярности отсчёта входного сигнала. Следующие три разряда кода образуют номер сегмента ( = 0, 1, 2,…,7), а последние четыре разряда – образуют номер шага квантования ( = 0, 1,…,15) в пределах сегмента.

 

таблица 6

 

Номер сегмента.	Размер шага квантования.	Верхняя граница сегмента
	64	(порог перегрузки)
	32	/2
	16	/4
	8	/ 8
	4	/16
	2	/32
		/64
		/128

 

Амплитудная характе­ристика компандирования описывается выражениями:

 

где х = u_вх/U₀, А = 87.6 – параметр компрессии.

Максимально-допустимая величина защищенности от шумов квантования для амплитудной характеристики квантующего устройства может быть определена по формуле:

a_кв. = 6m+1,8+∆a_кв. – C. С – коэффициент компандирования.

; - нормированное

; - нормированное

– угол наклона первого сегмента, – угол наклона последнего сегмента характеристики квантующего устройства.

Величина для 13-сегментной характеристики компандирования = 24 dB, а коэффициент компрессии С = 36 dB.

Тогда:

.

Определение разрядности кодовой комбинации необходимо для обеспече­ния защищенности от шумов квантования и выбора равномерного (линейного) или неравномерного (нелинейного) квантования. При проектировании следует дать сравнительный анализ равномерного и неравномерного квантования, обоснование применения неравномерного кван­тования с амплитудной характеристикой квантующего устройства сигналов АИМ-II, близкой к логарифмической.

Амплитудная характеристика у = f(x) реализуется в виде каскадного соединения компрессора с указанной амплитудной характеристикой, АЦП с равномерной шкалой квантования и порогом перегрузки равным U_orp = U_{вх max}.

Необходимую защи­щенность от шумов квантования в си­стеме ИКМ обеспечивают оба вида характеристик компрессии. Так, на рис. 6 для сравнения приведена за­висимость величины a_кв. от уровня входного сигнала u_вх/U₀ при μ = 255 и А = 87,6/13.

 

Рис.6. За­висимость величины защищенности a_кв. от u_вх/U₀ при μ = 255 и А = 87,6.

 

1. Примеры выбора частоты дискретизации сигналов.

Рис.7. Спектральная диаграмма АИМ-сигнала.

 

Минимальное значение F_д должно обеспечивать неискажённое восстановление первичного сигнала с учётом не идеальности фильтров, которые включаются на входе канальных АИМ и на выходе канального селектора.

,

- максимальное значение верхней граничной частоты первичного сигнала С(t). Данное соотношение справедливо для первичных сигналов, у которых отношение граничных частот превышает несколько октав:

,

Здесь - минимальное значение нижней граничной частоты непрерывного во времени первичного сигнала С(t). При этом, в ЦСП дискретизации подвергаются не только первичные сигналы, а также групповые сигналы, соответствующие сигналам первичного широкополосного канала, для которого F_min = 60 кГц, F_max = 108 кГц или сигналам вторичного широкополосного канала (F_min = 312 кГц, F_max = 552 кГц) и т.д. для этих сигналов отношениие граничных частот всегда меньше двух. В этом случае частота дискретизации определяется из соотношений:

_.

 

Физической реализацией процесса дискретизации является АИМ, при которой амплитудной модуляции подвергаются импульсы, следующие с частотой F_д или периодом дискретизации Т_д = 1/ F_д. Если вершина амплитуды отсчета соответствует исходному сигналу, т.е. по­вторяет форму исходного сигнала на длительности отсчета τ_и,то такая АИМ на­зывается амплитудно-импульсной модуляцией первого рода (АИМ-I), если вершина амплитуды отсчета на всей его длительности τ_и остается величиной постоянной, то такая АИМ называется АИМ второго рода (АИМ-II).

При скважности периодической, модулируемой последовательности им­пульсов (где Т_д - период дискретизации - период следования им­пульсов модулируемой последовательности, τ_и - длительность импульсов этой последовательности) более десяти, существенного отличия между АИМ-1 и АИМ-П нет и можно считать, что их спектры одинаковы. Спектр АИМ однополярной последовательности включает: постоянную составляющую, исходный сигнал, гармоники частоты дискретизации, верхние и нижние боковые полосы около этих гармоник, т.е. полоса n .

 

Пример 1. Определить минимальное значение сигнала вещания первого класса с полосой =0,05…10 кГц, при котором будут отсутствовать искажения дискретизации. Частотные характеристики фильтров ФНЧ на входе канального АИМ и выходе канального селектора считать идеальными. Представить графиче­ски частотный спектр АИМ сигнала.

 

Решение. Из условия ясно, что F_min = 0,05 кГц, F_max = 10 кГц. Минимальное значение частоты дискретизации . Спектр АИМ сигнала S_АИМ (f) приведен на рис.8.

 

 

Рис.8. спектр АИМ сигнала.

Пример 2. Определить минимальное значение частоты дискретизации сигнала вещания высшего класса с полосой =0,03…15 кГц, при котором будут отсутствовать искажения дискретизации. Частотные характеристики фильтров ФНЧ на входе КАИМ и выходе КС реальные. ∆F_р = 2 кГц – ширина полосы расфильтровки между исходным сигналом и нижней боковой полосы частот первой гармоники частоты дискретизации.

 

Рис.9. Спектр АИМ сигнала.

 

Решение. Из рис.9 следует: . Следовательно, частота дискретизации при использовании фильтров с ре­альными характеристиками всегда определяется го соотношения: 32 кГц.

Ширина полосы расфильтровки определяется требованиями к величине по­давления ненужных спектральных составляющих АИМ сигнала при его демоду­ляции и крутизной характеристики затухания фильтра в полосе расфильтровки.

 

Пример 3. Определить минимальное значение частоты дискретизации сигнала первичного широкополосного канала, дня которого = 60 кГц и = 108 кГц, обеспечивающее отсутствие искажений дискретизации при де­модуляции АИМ сигнала. Принять частотные характеристики затухания поло­совых фильтров на входе КАИМ и выходе КС идеальными.

 

Решение. Из соотношений следует, что частоты дискретизации сигнала первичного широкополосного канала должны удовлетворять условиям: 108 120 кГц. Исходя из условий задачи выбираем = 108 кГц. Спектр АИМ сигнала для: этого примера приведен на рис.10, где приняты следующие обозначения: НБ-1 нижняя, боковая полоса от первой гармоники частоты дискретизации; ВБ-1 верхняя боковая полоса частот от первой гармоники частоты дискретизации; НБ-2 и ВБ-2 аналогично нижняя и верхняя боковая полоса частот от второй гармоники частоты дискретизации.

 

Рис.10. Пример спектра АИМ сигнала.

 

В практике проектирования АИМ трактов ЦСП на выбор частоты дискрети­зации влияет на возможность технической реализации фильтров нижних частот (ФНЧ) или полосовых фильтров на входе КАИМ и выходе КС.

Реализация этих фильтров определяется величиной защитного интервала или полосой расфильтровки между полосой частот исходного сигнала и боковыми полосами частот вокруг гармоник частоты дискретизации. Величи­на этого защитного интервала или полосы расфильтровки определяется воз­можностями реализации фильтров с реальной крутизной характеристики зату­хания в переходной области или в полосе расфильтровки, (рис.11), где приняты следующие обозначения: - полоса расфильтровки или защитный интервал, или переходная область, т.е. переход от полосы эффектив­ного пропускания (ПЭП) к полосе эффективного задерживания (ПЭЗ), - минимально-допустимое затухание в ПЭЗ, обеспечивающее достаточное по­давление побочных продуктов преобразования - дискретизации (амплитудно-импульсной модуляции), исключающее искажения дискретизации.

 

Рис.11. Определение полосы расфильтровки.

Пример 4. Определить частоту дискретизации телефонного сигнала с = 300 Гц и = 3400 Гц, при которой будут отсутствовать искажения дис­кретизации, если на входе КАИМ и на выходе КС включается ФНЧ с шириной полосы расфильтровки - защитного интервала = 1200 Гц.

Решение. Известно, что .Подставляя значения и , получим Гц.

По-иному определяется значение частоты дискретизации для узкополос­ных сигналов, для которых отношение . При наличии защитных интервалов спектр АИМ сигнала для этого случая может быть представлен в виде, рис.12. Принятые обозначения очевидны, они были указаны ранее.

 

Рис.12. К определению полос расфильтровки.

 

Из рис.12 следует, что , т.е. .

С другой стороны из рисунка следует, что .

Соответственно, для частоты дис­кретизации имеем следующее выражение .

 

Пример 5. Определить минимальное значение вторичного широкополосного канала с = 312 кГц и = 552 кГц, которая обеспечивает отсутствие искажений дискретизации при демодуляции сигнала, если 12 кГц.

 

Решение. Из рис.12 получим:

кГц

Из следует, что кГц.

Из двух значений выбираем меньшее, т.е. 564 кГц.

Из полученных значений частоты дискретизации и на основании рис.12 определим значения полос расфильтровки:

кГц;

кГц.

Таким образом, для полосовых фильтров, включаемых на входе КАИМ и на выходе КС, получаются асимметричные характеристика затухания (рис.13).

Следовательно, выбор частоты дискретизации сигналов электросвязи зави­сит от двух факторов: широкополосности сигнала, т.е. отношения , и возможности реализации фильтров с требуемым значением и возможно достижимой крутизны частотной характеристики затухания фильтра, т.е. . Естественно, стремление к получению минимально возможного значения частоты дискретизации.

 

 

Рис.13. Характеристика затухания фильтров.

 

Следовательно, частота дискретизации должна выбираться для сигналов рав­ной (2,3…2,4) и соответствующей стандартной частоте дискретизации аналого-цифрового оборудования типовых первичных систем передачи.

Полосу расфильтровки фильтров нижних частот следует выбирать равной 1,2...2,0 кГц для первичных сигналов телефонных, радиовещательных сообще­ний. Что касается дискретизации сигналов с отношением F_max / F_min меньше двух, то частоту дискретизации следует выбирать согласно вышеприведенным фор­мулам, а полосу расфильтровки фильтров следует брать в пределах от 8 до 60 кГц, в зависимости от широкополосности сигналов такого типа.