Опыт построения курсов математики и грамматики на основе содержательного обобщения (материалы экспериментальных исследований)

В настоящее время в условиях экспериментального обучения (при постепенном внедрении в массовую школьную практику) можно реализовать те принципы построения учебных предметов, логико-психологические основы которых связаны с формированием у

425

детей содержательных абстракций, обобщений и понятий. Некоторые фактические предпосылки таких возможностей мы описали выше. Особое значение приобретают специально организуемые психолого-дидактические исследования, опирающиеся на такое экспериментальное обучение, которое осуществляется на основе соответствующих программ.

В течение нескольких лет в этом направлении по единому плану работает коллектив психологов и педагогов гг. Москвы, Тулы, Харькова и Душанбе под общим руководством Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова. Исследования этого коллектива выполняются в форме экспериментального обучения учащихся I—VIII классов. Основная задача исследований состоит в раскрытии строения и условий формирования полноценной учебной деятельности школьников. Вместе с тем, как показал наш опыт, решение этой задачи предполагает существенное изменение содержания и методов традиционного обучения, предполагает разработку учебных предметов, проектирующих у школьников мыслительную деятельность собственно теоретического типа.

Своеобразие метода наших исследований состоит в конструировании и переконструировании учебных программ (в нашем опыте это были учебные программы по математике, грамматике и труду). Цели исследований заключаются в следующем. Во-первых, необходимо определить общие способы построения учебных программ на основе изложенных принципов. Во-вторых, нужно установить возрастные интеллектуальные возможности усвоения соответствующего содержания школьниками разных классов (в данном случае возникает проблема выявления резервов интеллектуального развития детей). В-третьих, важно изучить закономерности формирования исходных структур теоретического мышления у школьников, в частности у детей младшего школьного возраста.

Гипотеза, положенная в основу наших исследований, заключалась в следующем: при определенном введении учебного материала по математике и грамматике

426

у школьников могут быть сформированы содержательные обобщения и понятия о «клеточке» этих областей. Последующее усвоение может осуществляться путем восхождения от абстрактного к конкретному.

Принцип содержательного обобщения и образования теоретического понятия состоит в выделении всеобщей формы какого-либо многообразия явлений, в выяснении происхождения содержания понятия. Следовательно, в учебные предметы нужно включать не готовые дефиниции понятий и их иллюстрации, а задачи, требующие выяснения условий происхождения этих понятий.

При построении учебного предмета прежде всего необходимо установить состав той нормативной родовой деятельности, на основе которой вводятся соответствующие понятия. Это особая исследовательская проблема, общие методы решения которой в психологии еще почти не разработаны. Отдельные примеры изучения такой деятельности представлены, например, в наших работах по анализу происхождения понятия числа (целого и дробного) и действия умножения [428], [432], [441], [442]. В исследованиях Д. Б. Эльконина [481], [57], [483], Л. И. Айдаровой [411], [413], [415], [416] и А. К. Марковой [449], [450], [451], [453] проведено изучение деятельности по выявлению содержания понятия фонемы и морфемы, понятия о синтаксической связи. В работах Ф. Г. Боданского [421], [423], [424], Г. Г. Микулиной [455], [457], Г. И. Минской [460], [461], Л. М. Фридмана [471], [473] и P. A. Атаханова [418], [420] описаны существенные компоненты нормативной умственной деятельности, связанной с решением простых математических текстовых задач путем составления буквенных формул и уравнений.

Результаты всех этих работ служили основанием таких экспериментальных программ грамматики и математики, содержание которых существенно отличается от общепринятой системы обучения. Основное отличие состоит в том, что ведущим звеном экспериментального обучения стал процесс прослеживания

427

школьниками условий и законов происхождения понятий, специфичных для той области знаний, к изучению которой они приступают. С самого начала первоклассникам демонстрируется существенное различие отражения объектов в форме понятий от их описания, принятого в непосредственном житейском обиходе и в повседневных наблюдениях. Каждая значительная тема программы начинается со специально развернутого введения детей в те ситуации, внутри которых возникает потребность в соответствующих понятиях теоретического характера.

Выполняя определенные предметные действия, указываемые преподавателем, учащиеся обнаруживают и фиксируют такие существенные особенности объектов, ориентация на которые позволяет решать любые задачи данного класса, связанные с той или иной сходной ситуацией. Эти действия первоначально выполняются в материальной или материализованной форме, а затем поэтапно превращаются в умственные, производимые со знаковыми заместителями материальных объектов (общий путь этих превращений обоснован в работах П. Я. Гальперина [50], [51], [52], Д. Б. Эльконина [483], [485] и др.).

Учебное воспроизведение способа введения нового понятия имеет, как показывают исследования, следующие основные стадии: 1) ориентация школьников в ситуации задачи (математической, лингвистической и т. д.), решение которой требует нового понятия,

2) овладение образцом такого преобразования материала, которое выявляет в нем отношение, служащее общей основой решения любой задачи данного вида, 3) фиксация этого отношения в предметной или знаковой модели, позволяющей изучать его свойства в «чистом виде», 4) выявление таких свойств выделенного отношения, благодаря которым можно вывести условия и способы решения исходной задачи.

Ключевыми моментами здесь являются предметное действие, устанавливающее внутреннее отношение объектов, и модель, фиксирующая это отношение. Такая модель существенно отличается от обычных

428

средств наглядности, иллюстрирующих лишь внешние особенности предметов. Модель — это своеобразный «сплав» наглядности и понятия, выражающий общее, внутреннее отношение объекта, подлежащее дальнейшему расчленению (модель должна обеспечить это расчленение, т. е. выведение и изучение различных частных форм исходного общего отношения).

Подробное описание задач исследований нашего коллектива, методики их проведения и полученных результатов требует специального и достаточно «объемистого» труда. Вместе, с тем отметим, что определенная часть этой работы выполнена в тех публикациях, которые сделаны нами и нашими сотрудниками по обсуждаемой здесь проблеме (см. список публикаций на стр. 422). Ее новизна и сложность таковы, что полученные материалы выступают лишь как первые «приступы» к конкретизации составляющих ее вопросов. Эти материалы указывают направление дальнейших углубленных разработок способов построения обучения на основе формирования у школьников содержательных обобщений материала, таких обобщений, которые создавали бы хорошую почву для развития у детей теоретического мышления.

Благодаря этому можно будет решать и такую перспективную задачу практического значения, как создание единых, линейных или систематических курсов основных школьных дисциплин начиная с I класса (известно, что сейчас курсы для младших классов имеют пропедевтический характер, сохраняют относительно замкнутый концентр). Что же представляют из себя систематические курсы?

Программа этих курсов, особенно их первые разделы, должна раскрывать детям конституирующие моменты изучаемого предмета (грамматики, математики и т. д.), специфику теоретического подхода к нему. Теоретический материал должен составлять основу формирования у детей полноценных навыков (орфографических, вычислительных и др.), а его усвоение — способствовать воспитанию самостоятельности в учебной

429

работе. Содержание таких курсов подчиняется логике предмета (учитывая, безусловно, и законы усвоения), а не узким требованиям, вытекающим из необходимости сформировать тот или иной набор практических навыков. Такое построение программ обеспечивает теоретическую связность, систематичность в изложении учебного материала.

Иногда под «систематичностью» курса понимают такое его развертывание, которое якобы исключает возвращение к ранее усвоенному материалу, углубление и доработку ранее усвоенных понятий и умений. Подобные возвращения истолковываются как концентричность обучения. Такое истолкование несостоятельно ни с логико-познавательной, ни с психолого-дидактической точек зрения. Систематическое развертывание знаний о предмете не только не исключает, а, наоборот, предполагает постоянное насыщение исходных понятий (абстрактного) все новыми и новыми чертами, особенностями — возвращение к предыдущему с позиции последующего (движение от абстрактного к конкретному).

Концентризм в его конкретно-историческом значении состоит не в возвращении и углублении, а прежде всего в таком построении учебного предмета, когда элементы теоретических сведений даются учащимся лишь применительно к тому, что нужно для формирования навыков узкопрактического характера. При этом нарушается логика развертывания самого предмета и усвоения теории, так как для навыков чаще всего достаточны отрывочные и внешние сведения о предмете. И если все же возникает потребность дать учащимся более или менее систематический курс, то его приходится начинать опять с азов. Поэтому первоначальные сведения оказываются лишь подготовительными и замкнуто-концентрическими.

Мы понимаем, что с общепедагогической и школоведческой точек зрения введение систематических курсов в младших классах носит пока проблематичный характер. Но в планепсихолого-дидактическом эта идея уже сейчас нуждается в серьезной

430

разработке, предполагающей поисковые исследования самой возможности усвоения детьми 7—10 лет содержания систематических курсов. И эти исследования уже начались. Здесь встает ряд конкретных вопросов. Один из главных — это вопрос о том, как должны строиться учебные предметы и деятельность по их усвоению, чтобы у детей гораздо раньше, чем сейчас, формировались приемы и навыки мышления в теоретических понятиях.

Остановимся для примера на отдельных особенностях курса русского языка, иллюстрирующих, с одной стороны, своеобразие систематического преподавания в младших классах, с другой — уровень познавательных возможностей младших школьников, проявляющихся при усвоении этого курса.

По русскому языку в I классе даются необходимые для последующего усвоения морфологии знания о звуковом составе языка (гласные и согласные звуки; согласные твердые и мягкие, звонкие и глухие; ударение в слове и его роль; отношения между звуками и буквами в русском языке и т. п.). Во II классе дети начинают усваивать систематический курсморфологии (морфологическая структура слова; основные категории слов; связь изменения морфологических частей слова — приставок, суффиксов, окончаний — с изменением характера сообщений, содержащихся в слове). В III классе дается систематическое изложение учения о словах-существительных (функции падежных форм, парадигма склонения, типы склонении), а затем о структуре простого предложения. В IV классе на основе анализа интонационного строя предложений дети осваивают структуру сложного предложения разных видов. На этой основе даются дальнейшие систематические сведения о глаголах и формах их изменений.

Следует подчеркнуть, что в программу специально включены особо трудные разделы грамматики. Например, во II классе при общем ознакомлении с глаголом детям объясняется не только число, лицо и время, но и такие значения, как виды (совершенный и несовершенный),

431

наклонения (изъявительное, сослагательное, повелительное) и залоги глагола (возвратный и страдательный). В III классе при работе над падежными изменениями дети учатся различать падежи по их функции и при грамматическом разборе указывают значение каждого падежа (например, творительный, или орудийный; предложный, или места, и т. д.), а при работе над структурой простого предложения учатся различать все его виды. Включая в программу сложные грамматические явления, мы часто делаем это в экспериментальных целях, не предрешая вопроса о том, обязательно ли нужно вводить их в систематический курс грамматики как таковой. Нам важно было выяснить, могут ли учащиеся начальных классов усвоить такой материал и при каких условиях.

В основу этих программ (авторы Л. И. Айдарова, В. Н. Протопопов и А. К. Маркова) было положено лингвистическое понятие о внутренней связи сообщения с определенными значащими частицами слов (морфемы). Это есть понятие об исходной «клеточке» целостной языковой системы. Особенной формой выражения этой общей связи с самого начала выступают изменяемые частицы существительного, глагола и прилагательного, изменение которых коррелирует с изменением смысла слова. Определенным образом действуя со словами (изменяя, сравнивая их, выделяя частицы), второклассники открывают зависимость сообщения от «анатомии» слова и начинают использовать эту зависимость как общее средство проникновения в грамматический строй языка. Многие свойства этого строя выводятся ими в процессе обучения как частные проявления ранее обнаруженной общей зависимости. При этом у учащихся II—III классов формируется собственно лингвистическое отношение к слову.

Примечательно, что у этих детей совершенно отсутствовал и «наивный семантизм», и то смешение слов разных грамматических разрядов, которое типично для учащихся обычных классов (см. гл. IV). Всю

432

классификацию слов наши дети выполняли только на основе выделения системы собственно грамматических признаков данного слова. Поэтому, по данным Л. И. Айдаровой, ошибок в классификации почти совсем не было [411].

Отметим, что по традиционной программе дети вначале знакомятся со многими эмпирически-частными свойствами слов (начальная школа) и лишь затем приходят — и чаще всего в весьма несовершенной форме — к представлению о связи сообщения с частицами слова (V—VI классы).

Новое построение программы потребовало введения и новых методов работы, при которых возможно усвоение ее содержания. Основная особенность этих методов заключается в том, что преподаватель учит детей производить такое действие с материалом, такие его изменения, посредством которых дети сами открывают изучаемые свойства. Задача психолого-дидактического исследования как раз и состоит в том, чтобы найти, описать и дать детям эти действия.

Так, при изучении морфологии в нашем курсе учащиеся производили над словами различных категорий особую систему действий. Во-первых, они меняли исходное слово по смыслу и записывали новое под исходным; во-вторых, они сопоставляли новое слово с исходным по смыслу и по морфологическому составу, выявляя ту часть слова, которая является носителем смысла; в-третьих, они выделяли эту часть; в-четвертых, устанавливали, что же именно и при помощи каких частей сообщалось в исходном слове¹.

На простейшем примере покажем, как посредством этих действий ребенок впервые выделяет элементы слова и устанавливает их внутренние отношения. Учитель произносит какое-либо слово (например, «книга») и спрашивает у детей, о чем оно сообщает. В ответ второклассники указывают, конечно, лишь на «вещественное»

433

значение слова. Тогда учитель изменял исходную форму слова («книга — книги»), просил детей сопоставить эти слова и выяснить, о чем говорится в каждом слове. Дети выделяют значение числа и ту формальную разницу («а — и»), с которой оно связано. Оба эти момента фиксировались так: выделяемые части слова обводились рамками, значение морфем отмечалось стрелками, около которых кратко записывались сообщения, передаваемые морфемами.

Работая с другими словами, дети учились изменять и сопоставлять их с целью обнаружения формальных и смысловых различий, а затем изображать морфемы в виде графических схем. На следующем этапе из этих схем убирались отдельные частные морфемы и оставалась чистая модель слова, отражающая лишь последовательность его морфем и общее значение каждой из них.

Для выделения различных морфологических частей слова и установления их функций в разных категориях слов дети работали с разными по составу наборами слов. Например, для определения функций окончания в существительных они производили изменения по числу и нескольким падежам, а для определения функций окончания в глаголах дети нуждались в большом наборе взаимно сравниваемых слов.

Дети, работавшие по экспериментальной программе, систематически обучались тому, как надо действовать со словом и предложением, чтобы раскрыть их структуру и функцию каждой части. В этом заключалась суть метода, который мы применяли в обучении. Ребенок должен выполнять особые действия по изменению слов и предложений (в других дисциплинах — соответствующих им предметов). Благодаря этим действиям ранее скрытые свойства и отношения становятся явными и могут быть фиксированы в форме пространственно-графической или знаковой модели.

На основе сформированного у второклассников теоретического понятия о «единице» лингвистического анализа курс русского языка был построен в определенном приближении к смыслу восхождения от абстрактного

434

к конкретному. Важным звеном конкретизации этого понятия являлось выведение на его основе грамматического содержания таких категорий, как части речи. Каждая из них выступала как единство системы морфем и системы сообщений (значений). Так, форма имен существительных выступала как система сообщений, включающая корневое значение, дополнительное значение (оно может быть нулевым) и значения числа, падежа, рода; форма глаголов — как другая система сообщений, содержащая корневое значение и значение числа, лица, времени, наклонения, вида, залога (соответствующее содержание имела форма имен прилагательных). При этом дети сами (но, конечно, под руководством учителя) выводят содержание грамматических категорий на основе сочетания разных видов значений, четко сознавая и назначение, и смысл своих действий. В этом, собственно, и состоит теоретический способ работы, опирающийся на ранее созданное понятие об исходной общей связи формы и значения в слове.

Единый принцип конкретизации и обогащения понятия сохранялся при дальнейшем изучении морфологии по экспериментальной программе. Так, третьеклассники выяснили уже отношения между самими категориями и их формами. В ходе их анализа дети создавали своеобразную общую карту морфологического строя языка. Эта карта моделировала внутренние зависимости между единицами языка и соответствующие им способы действий.

Опыт экспериментальной работы свидетельствует о том, что младшие школьники успешно справляются с материалом новой программы по русскому языку. Приведем некоторые примеры. В конце II класса детям была предложена контрольная работа на классификацию слов по частям речи. Аналогичная задача была поставлена перед учениками III, IV и V классов, обучавшимися по обычной программе. Были даны 33 слова (12 существительных, 14 глаголов и 7 прилагательных). Учащиеся экспериментального II класса из 957 возможных ошибок сделали всего 42, или 4,4

435

процента; учащиеся обычного III класса из 891 возможной сделали 72 ошибки, или 8 процентов; учащиеся IV класса — 2,9 процента ошибок; учащиеся V класса — 10,7 процента ошибок. При этом следует иметь в виду, что второклассники при отнесении слов к той или иной части речи руководствовались только грамматическими признаками (т. е. характером изменения слова), в то время как учащиеся даже V обычного класса пользовались этими признаками лишь в 34 процентах случаев.

В другой работе производился морфологический анализ семи слов. Ученики экспериментального II класса допустили 5,6 процента ошибок (из всех возможных), ученики обычного III класса — 20,9 процента ошибок. Наиболее трудным было отделение суффиксов от окончаний: во II классе здесь было допущено 15 процентов ошибок, а в III — 48 процентов (т. е. в три раза больше).

Благодаря большой работе по словоизменению и словообразованию при морфологическом анализе учащиеся экспериментальных классов значительно расширяют запас слов. В одной работе детям из экспериментального II класса и обычных II—III классов было предложено написать к пяти словам возможно большее число родственных слов. Учащиеся экспериментального класса записали в среднем по 5,1 слова на каждое предложенное; ученики двух обычных II классов — по 1,9 и 2,1 слова; а ученики обычного III класса — по 3,7 слова. Это показывает, что у учащихся экспериментального класса активный словарь был шире. При этом выяснилось, что само понятие о родственных словах у учащихся экспериментального класса глубже и правильнее, чем у детей, работавших по обычной программе. Так, первые допустили только 7,7 процента ошибок, включая в число родственных слов изменения того же самого слова; учащиеся двух обычных вторых классов допустили здесь такую ошибку в 35 процентах и 31 проценте случаев, а в обычном III классе — в 20 процентах случаев.

436

Эти, а также другие многочисленные данные, имеющиеся в нашем распоряжении, показывают, что уже во II классе может быть начато преподавание русского языка по программесистематического курса. В III и IV классах дети также успешно усваивают материал по такой программе. В результате усвоения нового материала у детей значительно возрастают возможности понимания более сложных и глубоких грамматических явлений. Важно также, что в процессе обучения у детей появляется повышенный интерес к изучению языка, развивается тонкое языковое «чутье».

Понятие об отношении формы и значения еще более конкретизировалось при изучении четвероклассниками курса синтаксиса, в котором они имели перед собой иные виды этого отношения. Здесь у них вырабатывался ряд действий по соотнесению семантических и конструктивных свойств предложения, благодаря которым они стали рассматривать его как значащую форму. Особую роль в усвоении этого материала имело составление обобщенных графических схем формальной структуры предложения. Опираясь на них, дети учились конструировать и переконструировать предложения не на интуитивной основе, а сообразно жестким собственно языковым ориентирам. По мере такого овладения синтаксисом появлялась возможность начать, а в V—VI классах продолжить изучение отношений внутри самой семантической структуры языка, т. е. вычленить стилистический уровень как высший раздел синтаксиса, в котором смысл предложения зависит не только от комбинации слов внутри предложения и их оформления, но и от контекста (в письменной речи) и от ситуации (в устной речи). Подход к анализу семантики языковых и литературных фактов позволяет сблизить изучение языка и изучение литературы в школе [451], [453].

Специальные обследования показали, что при ориентации этих учащихся в языковом материале не наблюдались те характерные ошибки и та путаница, которая обычно существует у тех, кто занимается по обычной программе (см. гл. IV).

437

Указанный способ построения курса русского языка говорит о принципиальной возможности и целесообразности развертывания учебных предметов на основе содержательного обобщения и теоретического понятия. Действительно, здесь на основе специфических действий выделялась общая связь, имеющая вполне особенную форму выражения (т. е. выполнялась реальная абстракция). Эта связь как «клеточка» языкового целого изучалась в «чистом виде», благодаря чему дети усваивали понятие о связи формы и значения. Затем происходила конкретизация исходной зависимости путем выведения частных особенностей морфологического и синтаксического строя русского языка.

Новое содержание обучения в курсе русского языка математики и других предметов требует серьезного пересмотра традиционных дидактических и методических принципов. Покажем это на одном примере. Вся традиционная программа по русскому языку строится на наблюдениях за языком. Наблюдать можно только то, что непосредственно может быть воспринято. В языке таким внешним элементом является значение слова. Программа и методика как раз и построены на наблюдениях за значениями слов. Отсюда и определение частей речи по значению слов, и распознавание членов предложений, и ознакомление с падежными и глагольными формами. Это есть своеобразное преломление принципа наглядности в обучении грамматике.

Однако, столкнувшись с задачей открыть в языке такие стороны, которые непосредственно не даны, ученики уже не могут пользоваться наблюдением в его обычной житейской форме. Необходимо дать им средства направленного практического изменения и анализа языка, с помощью которых только и могут быть раскрыты более глубокие связи и отношения, характеризующие язык как определенную структуру.

Вообще там, где содержанием обучения выступают внешние свойства вещей, принцип наглядности себя оправдывает. Но там, где содержанием обучения становятся связи и отношения предметов, — там наглядность

438

далеко не достаточна. Здесь, на наш взгляд, вступает в силу принцип моделирования.

При построении курса математики мы исходили из того, что в настоящее время конечной целью всего этого школьного учебного предмета с I по X класс является создание у учащихся развернутой и полноценной концепции действительного числа, в основе которой лежит понятие о величине. Числа (натуральные и действительные) являются частным видом этого более общего математического объекта. Так нельзя ли сначала познакомить ребенка с этим общим объектом, а лишь затем выводить частные случаи его проявления? Можно ли это осуществить и что это дает для дальнейшего усвоения математики?

Опыт специальной экспериментальной работы показал, что это предположение вполне реализуемо. Правда, программы и способы обучения становятся при этом необычными. Так, согласно разработанному нами курсу дети в первом полугодии I класса вообще не «встречают» чисел. Все это время они довольно подробно осваивают сведения о величине: выделяют ее в физических объектах, знакомятся с основными ее свойствами.

Конкретнее это выглядит так. Работая с реальными вещами и выделяя в них параметры величин (тяжесть и объем, площадь и длину и т. д.), дети учились сравнивать эти вещи по той или иной величине, определяя их равенство или неравенство (больше — меньше). Эти отношения записывались знаками. Затем дети переходили к записи результата сравнения буквенной формулой, т. е. к общей форме изображения отношения любых величин. Здесь были две стадии. Вначале дети учились изображать отношение величин (тяжестей, громкости звуков, объемов и т. д.) соотношением линий, нарисованных на бумаге. Так, если учитель предлагал изобразить отношение грузов, положенных на весы, то слева рисовалась короткая линия, а справа — длинная, так как слова груз был легче, чем справа. От такой формы записи осуществлялся переход к буквам, ибо теперь ребенок уже отчетливо понимал, что при

439

сравнении любых величин выделяются и учитываются лишь их отношения. Сами объект можно обозначать буквами, а результат сравнения, связывая буквы знаком, можно записать формулой (а=b, а>b, а<b).

Выделение отношения равенства — неравенства в «чистом» виде (запись формулой) позволяет перейти к рассмотрению его собственных свойств — обратимости и необратимости, транзитивности и т. д. Было обнаружено, что дли многих детей семи лет особую трудность представляло усвоение транзитивности равенства — неравенства. Это и естественно, так как здесь ребенок должен был строить ранее непривычное для него умозаключение типа: «Если.., если.., то...». Но эта трудность вполне преодолима, и в конце октября (второй месяц обучения) дети могут хорошо ориентироваться на это свойство величин.

Следующий этап состоит в обучении детей умению записывать изменения величин с помощью знаков «плюс — минус». Здесь выделялись две стадии: 1) «Если а=b, то а+с>b», и 2) новое равенство возможно лишь при условии «а+с=b+с». Эти знания хорошо усваиваются детьми, что позволяет им решать самые разнообразные задачи, связанные с необходимостью учитывать момент «равновесия» и условий его сохранения.

В обычной программе для младших классов свойству монотонности специальное внимание не уделяется, хотя впоследствии оно является основой тождественных преобразований, а также решения уравнений. Опыт экспериментального обучения математике с 1 по V класс показывает, что более раннее усвоение ребенком этого свойства в общем виде существенно облегчает последующее усвоение и понимание частных его проявлений и прикладного значения (например, в технике вычислений).

Анализ изменений величины и запись их знаками «плюс — минус» открывает путь к введению простейших уравнений. Действительно, если а<b, то от неравенства можно перейти к равенству: а+х=b. Направление

440

изменения величин определяется условиями задачи: если а>b, то а—х=b при требовании уравнять а по b. Поскольку размер изменения еще неизвестен, то он обозначается «иксом», который является функцией от соотношения а и b.

По нашей программе учащиеся в течение ноября (третий месяц первого года обучения) овладевают способами перехода от неравенства к равенству, т. е. учатся составлять и записывать уравнения («если а<b, то а+х=b или а=b—х»), а затем определять x как функцию от других элементов формулы. Постепенно дети овладевают разнообразными приемами составления уравнений с одним неизвестным и его определения по заданным условиям. Так, они справляются со следующими заданиями: «Дано а<b; с>k; нужно составить уравнение, найти x и подставить найденное значение в исходную формулу». Это задание выполняется детьми так:

a<b	c>k
a=b—x	c=k+x
x=b—a	x=c—k
a=b—(b—a)	c=k+(c—k)

Следующий шаг в обучении — знакомство с коммуникативностью и ассоциативностью сложения: a+b=b+a; a+ +(b+c)=(a+b)+c. Усвоение этой темы, как и предыдущей, связано с некоторыми трудностями, о путях преодоления которых мы здесь говорить не имеем возможности. Отметим лишь, что при определенной организации занятий все дети в наших классах усваивают смысл этих свойств сложения величин и приобретают умение демонстрировать их применимость при оперировании различным предметным материалом, а впоследствии также и на конкретных числах.

Таким образом, буквенная символика, соответствующие буквенные формулы и их взаимосвязь, фиксирующая основные свойства величин, вполне доступны ребенку 7 лет еще до знакомства с числовыми характеристиками объектов. Такая программа обучения предъявляет повышенные требования к интеллекту ребенка. При правильной организации обучения дети способны

441

усвоить эту программу. При этом у них раньше, чем обычно, возникают предпосылки для формирования способности к теоретическому рассуждению. Это мощный толчок к развитию интеллектуальных сил ребенка, к повышению его способности оценивать абстрактные отношения объектов, что обнаруживается уже при изучении следующих разделов программы, например при знакомстве с числом (второе полугодие I класса).

В нашем курсе учитель, опираясь на ранее полученные детьми знания, вводит число как особый и частный случай изображения общего отношения величин, когда одна из них принимается за меру вычисления другой. Число получается по общей формуле

 

где N — любое число, А — любой объект, представленный как величина, С — любая мера.

Ясно, что, меняя меру, можно изменить число, относящееся к тому же объекту. Число зависит от отношения, содержащегося в исходном способе его образования. Знать этот способ и уметь оценивать указанное отношение необходимо при работе с понятием числа (и натурального, и действительного). Это обстоятельство хорошо усваивается детьми, обучающимися по экспериментальной программе. Кстати, это затем значительно облегчает им переход к работе с числовой осью (I класс) и с дробями (III класс). Такое «облегчение» вполне объяснимо тем обстоятельством, что сам способ введения формы числа, опирающийся на знакомство с величинами, является общим как для целых, так и дробных чисел. Отметим также, что на числовой ряд первоклассники переносили те общие свойства величин, которые усвоили ранее (транзитивность, монотонность и т. д.).

Мы приводили выше описание основных стадий введения нового понятия в обучении. На примере формирования понятия числа у первоклассников эти стадии выступают вполне отчетливо. Так, дети первоначально изучают разностное отношение величин и его свойства. Затем они ставятся в ситуацию задачи,

442

которую нельзя решить с помощью известного им разностного сравнения величин. Для этого нужен новый способ, а именно кратное сравнение, когда одна величина является мерой для однородной другой. Школьники с помощью учителя находят и усваивают образец выполнения этого общественно выработанного способа решения задачи. Они в своей собственной предметной деятельности воспроизводят основу этого способа — специфическое действие по определению кратного отношения величин, фиксируя его результат с помощью абстрактных словесных единиц. Это и есть всеобщая форма получения любого целого и дробного числа. Предметные пособия, демонстрирующие подобные отношения, и абстрактные единицы суть модели получения этой общей формы. Меняя меры и материал единиц, дети изучают на этой модели свойства выделенного отношения, в частности своеобразную обратную зависимость между размером меры и числом. Ориентация на эту зависимость позволяет ребенку вывести принцип построения числового ряда, работая с какой-либо одной величиной (при изменяющейся мере). Затем на этой основе последовательно находятся частные условия и приемы получения целого и дробного числа (в определенной ситуации — и отрицательного числа). Благодаря этому конкретизируется исходное общее отношение и способ его обнаружения.

В данной системе обучения формирование у детей понятия числа происходит через раскрытие детям необходимых условий его происхождения (т. е. через содержательное обобщение). Понятие, сформированное этим способом, не имело тех существенных недостатков, которые наблюдаются у понятия числа, образуемого эмпирическим путем (эти недостатки описаны в гл. IV).

На этом примере, как мы полагаем, можно видеть своеобразие нового подхода к построению учебных программ. Сейчас уже вырисовываются и практические выгоды такого подхода, в частности, возможность преодолеть совсем или значительно уменьшить тот разрыв между «арифметикой» и «алгеброй», который характерен

443

для традиционных школьных курсов. Это позволит сократить время, затрачиваемое детьми на усвоение учебного материала.

Не менее важны и некоторые теоретические следствия. Так, Ж. Пиаже четко разводит эффекты традиционного обучения и интеллектуального развития ребенка (организации операторных структур). При этом именно уровень развития должен быть основанием для регулирования обучения. Характерно следующее высказывание Ж. Пиаже по этому поводу: «...Дидактическую математику нужно основывать только на прогрессивной организации операторных структур» [243, стр. 29]. В периодизации интеллектуального развития, по Ж. Пиаже, для возраста 7—10 лет характерен уровень конкретных операций, связанных с действиями над предметами и с некоторыми элементарными «группировками» (определенные операции над классами и отношениями). Лишь к 11—12 годам складываются словесные или формальные операции, опирающиеся на предложения, а не на предметы (операции над суждениями).

Опыт нашей экспериментальной работы