Знаменатель дробного показателя - нечетный

Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7,.... В этом случае, степенная функция x ^p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x. Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.

Показатель p отрицательный, p < 0

Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7,...) меньше нуля:.

Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени, гдеm = 3, 5, 7,... - нечетное.

Нечетный числитель, n = -1, -3, -5,...

Приводим свойства степенной функции y = x ^p с рациональным отрицательным показателем, где n = -1, -3, -5,... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7... - нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0: выпукла вверх
при x > 0: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
;;;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) ⁿ = –1
при x = 1, y(1) = 1 ⁿ = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = -2, -4, -6,...

Свойства степенной функции y = x ^p с рациональным отрицательным показателем, где n = -2, -4, -6,... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7... - нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0: монотонно возрастает
при x > 0: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
;;;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) ⁿ = 1
при x = 1, y(1) = 1 ⁿ = 1
Обратная функция:

Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1

График степенной функции с рациональным показателем (0 < p < 1) при различных значениях показателя степени, где m = 3, 5, 7,... - нечетное.

Нечетный числитель, n = 1, 3, 5,...

Представлены свойства степенной функции y = x ^p с рациональным показателем, находящимся в пределах 0 < p < 1, где n = 1, 3, 5,... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7... - нечетное натуральное.

Область определения: –∞ < x < +∞
Множество значений: –∞ < y < +∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0: выпукла вниз
при x > 0: выпукла вверх
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = –1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 2, 4, 6,...

Представлены свойства степенной функции y = x ^p с рациональным показателем, находящимся в пределах 0 < p < 1, где n = 2, 4, 6,... – четное натуральное, m = 3, 5, 7... – нечетное натуральное.

Область определения: –∞ < x < +∞
Множество значений: 0 ≤ y < +∞
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0: монотонно убывает
при x > 0: монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак: при x ≠ 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Показатель p больше единицы, p > 1

График степенной функции с рациональным показателем (p > 1) при различных значениях показателя степени, где m = 3, 5, 7,... - нечетное.

Нечетный числитель, n = 5, 7, 9,...

Свойства степенной функции y = x ^p с рациональным показателем, большим единицы:. Где n = 5, 7, 9,... – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7... – нечетное натуральное.

Область определения: –∞ < x < ∞
Множество значений: –∞ < y < ∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при –∞ < x < 0 выпукла вверх
при 0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = –1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 4, 6, 8,...

Свойства степенной функции y = x ^p с рациональным показателем, большим единицы:. Где n = 4, 6, 8,... – четное натуральное, m = 3, 5, 7... – нечетное натуральное.

Область определения: –∞ < x < ∞
Множество значений: 0 ≤ y < ∞
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция: