Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-09-28 | 343 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Цель: Формирование навыков решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Уравнение, содержащее производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:
. (21.1)
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:
, (21.2)
где и - постоянные величины.
Для отыскания общего решения уравнения (21.2) составляется характеристическое уравнение
, (21.3)
которое получается из уравнения (21.2) заменой , и на соответствующие степени , причем сама функция заменяется единицей.
Тогда общее решение дифференциального уравнения (21.1) строится в зависимости от корней и характеристического уравнения (21.3). Здесь возможны три случая.
I случай: Корни и - действительные и различные. В этом случае общее решение уравнения (21.2) имеет вид
. (21.4)
II случай: Корни и - действительные и равные: . Тогда общее решение уравнения (21.2) записывается так:
. (21.5)
III случай: Корни и - комплексно – сопряженные: , . В этом случае общее решение уравнения (21.2) записывается следующим образом:
. (21.6)
Примеры
Задание 1: Решить уравнение: .
Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Отсюда следует, что , . Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (21.3) запишется так: .
|
Задание 2: Найти частное решение уравнения , если и при .
Решение: Составим характеристическое уравнение . Решая его, получим, , . Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: , то есть .
Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных величин и . Подставив в общее решение значения и , получим .
Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение значения и , имеем , отсюда следует, что . Из данного выражения находим: , .
Таким образом, искомое частное решение имеет вид .
Задание 3: Решить уравнение .
Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , . Характеристическое уравнение имеет равные действительные корни; поэтому согласно формуле (21.5) общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде .
Задание 4: Найдите частное решение уравнения , если и при .
Решение: Так как характеристическое уравнение имеет равные действительные корни , то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде
.
Дифференцируя общее решение, имеем
.
Подставив начальные данные в выражение для и , получим систему уравнений
, или , откуда и . Следовательно, искомое частное решение имеет вид .
Задания для практической работы
1. Решите уравнения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
2. Найдите частные решения уравнений:
1) ; и при ;
2) ; и при ;
3) ; и при .
3. Решите уравнения:
1) ;
2) ;
3) .
4. Найдите частные решения уравнений:
1) ; и при ;
2) ; и при .
Вопросы для самоконтроля:
1. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями второго порядка?
2. Какие уравнения называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка?
3. Какой вид имеет характеристическое уравнение? Для чего необходимо его нахождение?
|
4. Какие случаи возможны при нахождении общего решения дифференциального уравнения второго порядка?
Рекомендуемая литература: 1.2 [с. 243-253], 2.2 [с. 117-140].
Практическая работа №22
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!