Тема: Операции над векторами. Вычисление длины вектора и скалярного произведения.

Цель: Формирование навыков выполнения операций над векторами и вычисления модуля и скалярного произведения векторов, а также разложение векторов по векторам базиса.

Время выполнения: 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Отрезок называется направленным, если один из его концов считается началом отрезка, а другой – его концом.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор, заданной парой несовпадающих точек, обозначается символом . Точка называется началом, а точка - концом вектора.

Расстояние | | называется длиной (модулем) вектора .

Вектор , концы которого совпадают, называется нулевым вектором. Длина нулевого вектора равна нулю.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

В декартовой системе координат координатная форма вектора:

(5.1)

Длина вектора (5.2)

Пусть даны два вектора на плоскости:

(5.3)

Линейные операции над векторами (сложение, вычитание и умножение вектора на число) в координатной форме выполняются аналитическим способом путем арифметических действий над их одноименными координатами:

1) сложение: (5.4)

2) вычитание: (5.5)

3) умножение вектора на число: (5.6)

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: . (5.7)

Скалярное произведение векторов и выражается через их координаты по формуле . (5.8)

Угол между двумя векторами и находится по формуле . (5.9)

Если отрезок разделен точкой в отношении , то координаты точки находятся по формулам

, . (5.10)

Если , то получаются формулы для нахождения координат середины отрезка:

, . (5.11)

Примеры

Пример 1. Найти длину вектора по заданным координатам , .

Решение:

Находим координаты вектора по формуле , , а теперь найдем модуль этого вектора: .

Ответ: .

Пример 2. Даны векторы , и . Определить длину вектора .

Решение:

Найдем координаты вектора

=

= .

Ответ: .

Пример 3. Найти угол между векторами и .

Решение: Из определения скалярного произведения следует, что .

По координатам векторов находим:

, , , ,поэтому ;

Ответ:

Задания для практической работы

1. Найдите координаты вектора , если , .

2. Вычислите угол между векторами и .

3. Даны векторы , и . Определите координаты вектора: а) ; б) .

4. Расстояние от точки до точки , лежащей на оси , равно 10. Найдите точку .

5. Найдите скалярное произведение векторов и .

6. Точка делит АВ в отношении 1:4 (от А к В). Найдите точку А, если В (-6;-1)

7. Найдите скалярное произведение векторов:

1) и ;

2) и ;

8.Даны координаты вершин треугольника . Определить вид треугольника и найти внутренние углы треугольника.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение вектора.

2. Что понимается под длиной или модулем вектора?

3. Какие векторы называются коллинеарными?

4. Как найти произведение вектора на число?

5. Что называется суммой векторов? Какие правила нахождения сумм векторов существуют?

6. Что называется разностью двух векторов? Как построить разность двух векторов?

7. Дайте определение скалярного произведения двух векторов?

8. По какой формуле вычисляется скалярное произведение в координатах?

9. По какой формуле вычисляется угол между двумя векторами в координатах?

Рекомендуемая литература: 1.1 [с. 288-297], 1.2 [с. 268-283], 2.1 [с. 44-48].

Практическая работа №6