Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-09-27 | 324 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Краткие теоретические сведения
Определение. Квадратная матрица, определитель которой отличен от 0, называется невырожденной. Квадратная матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной.
Свойство 1. Вырожденная матрица не обратима.
Свойство 2. Произведение невырожденных матриц есть невырожденная матрица.
Свойство 3. Для каждой невырожденной квадратной матрицы А порядка n существует квадратная матрица А-1, такая что А´А-1= А-1´А =Е, где Е – единичная матрица.
Определение. Квадратная матрица А-1, такая что А´А-1= А-1´А =Е, где Е – единичная матрица, называемая обратной матрице А.
Основные свойства обратной матрицы.
Основные алгоритмы вычисления обратной матрицы.
Алгоритм №1 вычисления обратной матрицы:
1. Вычислить определитель матрицы ½A½=D;
2. Найти алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы;
3. Все элементы матрицы заменить их алгебраическими дополнениями;
4. Транспонировать полученную матрицу;
5. Разделить все элементы матрицы на D;
6. Полученная на этапе 5 матрица и есть матрица А-1, обратная матрице А.
Определение. Под элементарными преобразованиями матриц понимаются следующие операции:
1. Умножение или деление строки (столбца) матрицы на число к¹0;
2. Прибавление строки (столбца), умноженной на некоторое число к¹0 к другой строке (столбцу); при этом изменяется та строка (столбец), к которой прибавляют, остальные строки (столбцы) не изменяются;
3. Перемена местами строк (столбцов).
Алгоритм №2 вычисления обратной матрицы:
|
Матричные уравнения.
Определение. Матричным уравнением будем называть уравнение вида A´X=B, где А и В заданные матрицы, Х – неизвестная матрица.
Если матрица А невырожденная, тогда для нее существует обратная. Умножив обе части уравнения A´X=B на А-1, получим
A-1 ´ (A´X)=A-1 ´BÞ (A-1 ´A)´C=A-1 ´B Þ C=A-1 ´B
Покажем, что Х - решение уравнения A´X=B:
A´ (A-1´B)= (A´A-1) ´B=Е´В=В Û B=B.
Пример выполнения заданий практической части
Пример 1. Найти матрицу А-1, обратную матрице .
Решение.
1. Определитель матрицы А: .
2. Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы:
3. Составим матрицу, заменив все элементы матрицы А их алгебраическими дополнениями:
.
4. Транспонируем полученную матрицу А1: .
5. Разделим все элементы матрицы А2 на значение определителя D=-4: .
Таким образом, матрица, обратная матрице , имеет вид: .
Пример 2. Найти матрицу А-1, обратную матрице .
Решение.
1. Единичная матрица четвертого порядка имеет вид: . Составим присоединенную матрицу (А|Е): .
2. С помощью элементарных преобразований получим слева от вертикальной черты единичную матрицу Е.
=[ко второй строке прибавим первую]= = =[вычтем из третьей строки первую, умноженную на 2]= = =[вычтем из четвертой строки первую]= = =[вычтем из второй строки четвертую, для того чтобы получить во второй строке второй элемент равный 1]= = =[вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 7]= = =[вычтем из четвертой строки вторую, умноженную на 2]= =[вычтем из третьей строки четвертую, умноженную на 2]= =[разделим все элементы третьей строки на (-1)]= =[прибавим к четвертой строке третью]= = =[разделим все элементы четвертой строки
на 4]= =[к третьей строке прибавим четвертую, умноженную на 10]= =[ко второй строке прибавим четвертую, умноженную на 4]= =[к первой строке прибавим четвертую, умноженную на 5]= =[из второй строки вычтем третью] = =[из первой строки вычтем третью]= = .
|
Таким образом, матрица, обратная матрице А, имеет вид: или .
Пример 3. Решить матричные уравнения A´X=B, A´X´В=С, если
Решение.
1. Решим матричное уравнение .
C=A-1 ´B
1) Найдем матрицу А-1. Воспользуемся первым способом.
DА=-4.
2)
3) Составим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:
4) Транспонируем полученную матрицу:
5) Разделим каждый элемент полученной матрицы на значение DА= - 4:
6)
2. Решим матричное уравнение .
1) ;
;
;
;
.
2) Найдем матрицу, обратную к матрице В:
DВ=2
3)
4) Составим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы В:
5) Транспонируем полученную матрицу:
6) Разделим каждый элемент полученной матрицы на значение DВ=2:
7)
Ответ: ; .
Задания для аудиторного занятия
1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;
1.4. ; 1.5. .
2. Решить матричные уравнения и , если:
2.1. ;
2.2. ;
2.3. .
3. Решить матричные уравнения:
3.1. ; 3.2. ;
3.3. .
4. Пусть А и В – обратимые матрицы одного и того же порядка. Показать, что следующие равенства равносильны между собой:
;
;
;
.
3.4. Домашнее задание
1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;
1.4. ; 1.5. .
2. Решить матричные уравнения и , если:
2.1. ; 2.2. .
3. Решить матричные уравнения:
3.1. ;
3.2. ;
3.3. .
4. Определить, как изменится обратная матрица А-1, если в данной матрице А:
4.1. переставить i-ую и g-ую строки;
4.2. все элементы i-ой строки умножить на число к¹0;
4.3. к i-ой строке прибавить g-ую строку, умноженную на число к¹0.
Тема 4. Ранг матрицы
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!