Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-09-27 | 789 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые соответственно, т.е. .
Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .
Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда , , . По определению суммы нескольких векторов находим . А так как , , то
Но , , .
Обозначим проекции вектора на оси Ox, Oy и Oz соответственно через , и , т.е. , и .
Тогда получаем
. (2.1)
Формула (2.1) является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа , и называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. Векторное равенство (2.1) часто записывается в символическом виде: .
Единичные вектора и в 3-х-мерном пространстве имеют соответствующие координаты: , , .
Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно записать , т.е.
.
Отсюда
, (2.3)
т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.
Если вектор находится на плоскости , то модуль вектора находится по формуле:
. (2.4)
Пусть углы вектора с осями Ox, Oy и Oz соответственно равны a, b и g. По свойству проекции вектора на ось имеем
, , .
Или,
. (2.5)
Числа называются направляющими косинусами вектора .
Подставляя полученные косинусы в выражение квадрата модуля вектора , получаем
.
Сократив на , получаем соотношение
, (2.6)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
Легко заметить, что координатами единичного вектора (орта) являются числа , т.е. .
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.
Мы видим, что вектор можно представить как упорядоченная совокупность двух чисел, если вектор находится на плоскости, т.е. ; как совокупность трех чисел, если вектор находится в 3-х-мерном пространстве, т.е. .
Но в математике и ее приложениях часто приходиться изучать такие объекты, для задания которых недостаточно двух или трех действительных (вещественных) чисел. Например, положение твердого тела в пространстве определяется совокупностью шести вещественных чисел: три координаты его центра масс, два угла, характеризующие направление некоторой фиксированной оси, проходящей через центр масс, и, наконец, угол поворота вокруг этой оси. Этот пример свидетельствует о целесообразности обобщения понятия вектора на случай любой конечной упорядоченной совокупности вещественных чисел.
Определение 2.1. Упорядоченная совокупность n вещественных чисел называется n -мерным вектором, а числа - координатами вектора, т.е.
.
Смысл требования упорядоченности состоит в том, что если переставить любые два неравных числа в этой совокупности, то получится другая совокупность, отличная от исходной. Как правило, векторы записывают строкой, но иногда необходимо записать вектор столбцом, т.е.
.
Можно сказать, что множество всех n -мерным векторов находится в так называемом -мерном пространстве (корректно понятие будет введено ниже).
Алгебраический вектор, как мы видели выше, можно представить в виде разложения по единичным векторам, т.е.
(на плоскости );
(в 3-х-мерном пространстве).
Аналогично можно разложить вектор по единичным векторам в -мерном пространстве.
Пусть ,
,
,
…………………..
.
единичные векторы n -мерного пространства.
Тогда вектор можно представить в виде разложения по единичным векторам следующим образом:
. (2.7)
2.2.Действия над векторами, заданными координатами
Пусть векторы и заданы своими координатами или проекциями на оси координат Ox, Oy и Oz, т.е.
и
.
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!