Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа

Запишем телеграфное уравнение для трехмерного пространства

(1)

где a ₀, a ₁, и a ₂ – положительные постоянные. С одномерным случаем этого уравнения мы уже имели дело в § 9, гл.II. При оно переходит в волновое уравнение, при в уравнение теплопроводности и диффузии, а при , в уравнение диффузии для среды, в которой происходят химические реакции.

Следуя методу разделения переменных, будем искать решения уравнения (1) в следующем виде

(2)

где u (x) – функция трех пространственных координат, а v (x) – функция только времени. Подставляя выражение (2) в уравнение (1), получим соотношение

,

из которого мы получаем два уравнения

(3)

(4)

Уравнение (3) эллиптического типа называется уравнением Гельмгольца, с которым мы уже встречались ранее (§ 6, гл. III, лекция 9). Оно играет важную роль в математической физике ввиду своей простоты и большого значения задач, которые к нему приводят (волновые процессы, теплопроводность, диффузия и др.). Из формулы (2) следует, что уравнение Гельмгольца описывает изменение от точки к точке интенсивности того или иного процесса, т.е. описывает статическое состояние, а уравнение (4) описывает изменение во времени всей совокупности этой интенсивности. Суперпозицией решений вида (2) можно охватить широкий круг пространственно-временных зависимостей.

Наряду с однородным уравнением (1), мы будем рассматривать также неоднородное уравнение Гельмгольца:

(5)

Функции ρ в некоторых задачах, как мы видели, можно приписать смысл плотности распределения источников.

Для уравнения Гельмгольца, так же как и для уравнений Лапласа и Пуассона, ставятся граничные задачи Дирихле, Неймана и смешанные, как внешние, так и внутренние. Однако для формулировки внешних задач оказывается необходимым вводить дополнительно условие поведения решения на бесконечности.

В качестве примера рассмотрим некоторые задачи, приводящие к уравнению Гельмгольца.

Установившиеся колебания мембраны.

Рассмотрим вынужденные колебания мембраны S, закрепленной на ограничивающем её контуре С, под действием внешней удельной (рассчитанной на единицу площади) силы

(6)

Тогда уравнение колебаний мембраны будет иметь вид

, (7)

где ρ – поверхностная плотность.

Будем искать решение уравнения (8) в виде

Этот вид решения соответствует установившимся колебаниям с частотой ω и амплитудой v. Подставив его в уравнение (7), получим

,

откуда следует

, (8)

где

и

Уравнение Гельмгольца (8) есть уравнение для определения амплитуды установившихся колебаний мембраны. К этому уравнению нужно добавить граничное условие, соответствующее закреплению мембраны на границе:

(10)

Следует отметить, что задачи об установившихся колебаниях характерны также для акустики и теории электромагнитного поля.