Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-09-30 | 211 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Вопросы:
1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.
2. Правила дифференцирования.
3. Производные высших порядков. Дифференциал функции.
1. Понятие производной
Пусть М – некоторая точка кривой γ
Если и , то
секущая , если она
существует. Предельное положение
– касательная к γ в точке М.
Пусть определена в некоторой точке х и ее окрестности. Дадим аргументы х приращение , при этом . Тогда функция получит приращение .
Опр.: Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю, если это предел существует.
Обозначения
Итак, по определению
(*)
Процесс нахождения производной называется дифференцированием этой функции.
Функция называется дифференцируемой в некоторой точке х, если существует предел см. (*).
Непрерывность есть необходимое (но не достаточное) условие дифференцируемости функции.
Функция непрерывная в некоторой точке х может быть и не дифференцируемой в этой точке.
Пример: в точке х = 0 не дифференцируема.
Геометрический смысл производной
Секущая MN при становится касательной , т.е.
Т.е. производная функции в точке х равна угловому коэффициенту касательной в точке к кривой заданной уравнением .
Физический смысл производной
Если за промежуток времени тело прошло путь , то средняя скорость движения тела равна
При получим мгновенную скорость в t, т.е.
Правила дифференцирования
Схема вычисления производной:
1. Дать аргументу приращение , найти значения функции .
2. Найти приращение функции .
3. Составить отношение
4. Найдем предел этого отношения при , т.е. (если этот придел существует).
|
Пример:
1.
2.
3.
4.
Т.о. .
Можно доказать, что .
Правила дифференцирования:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Таблица производных:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Производная сложной функции:
Теорема: Если и – дифференцируемы функции от своих аргументов, то производная сложной функции:
Действительно:
Пример:
1)
, получим
2)
Производная обратной функции:
Дифференцируемая функция с производной имеет однозначную непрерывную обратную функцию , причем обратная функция так же дифференцируема и справедлива формула:
Пример:
Дифференциал функции. Производные высших порядков
Опр.: Выражение называется дифференциалом функции .
Он имеет следующие свойства:
1)
2)
золотые свойства дифференциала, которые пригодятся при нахождении интегралов функции.
Опр.: Т.к. производная функции в свою очередь так же является функцией то ее можно продифференцировать. Производной n -го называется от производной (n –1)-го порядка.
Обозначение:
– 2-го порядка
– 3-го порядка
…….
– n-го порядка
или
Пример:
Аналогично определяются дифференциалы высших порядков:
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!