Силы давления покоящейся жидкости на криволинейные стенки

При криволинейной стенке определение значения, направления и точки приложения силы давления жидкости усложняется, так как элементарные силы давления, действующие нормально на каждую элементарную площадку стенки, имеют разные направления. В этом случае с целью упрощения (чтобы избежать интегрирования по криволинейной поверхности) приходится определять вначале составляющие силы давления по заданным направлениям,

 

например по осям координат х, у,z, а затем находить результирующую силу давления

 

Практически приходится иметь дело с криволинейными стенками, представляющими собой поверхности вращения (сферу, цилиндр, конус) и имеющими ось симметрии, лежащую в плоскости, нормальной к стенке, что существенно упрощает определение силы давления жидкости.

Определим силу давления жидкости Р на криволинейную стенку цилиндрической формы, след которой на рис. 2.13— линияMN.

Как и в предыдущем случае, выделим на стенке элементарную площадку dF (след ее на рис. 2.13 -—линия MN), находящуюся на расстоянии z от свободной поверхности. Сила давления Жидкости на эту элементарную площадку

 

 

Разложим dP на две взаимно перпендикулярные составляющие: горизонтальную и вертикальную и просуммируем отдельно все горизонтальные и все вертикальные составляющее_;^: Ввиду малости элементарной площадки примем ее за плоскую и спроектируем на горизонтальную;и вертикальную.; плоскости..- Проекции. dF будут: ;- и

Найдем горизонтальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку _, которая представляет собой сумму всех элементарных горизонтальных составляющих Так как, dP_x =dPcosα=ρgzdFcosα=ρgzdF_z

 

где — статический момент площади вертикальной проекции криволинейной стенки относительно оси х, проходящей по свободной поверхности жидкости;

— площадь вертикальной проекции смоченной жидкостью криволинейной стенки;

— расстояние центра тяжести от свободной поверхности жидкости. Тогда

 

P_x = rgh_c F_z (2.27)

 

Таким образом, горизонтальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе давления жидкости на ее вертикальную проекцию [сравните уравнения (2.27) и (2.22)].

Найдем вертикальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку , которая представляет собой сумму всех элементарных вертикальных составляющих . Так как

dP_z =dPsina=rgzdFsina=rgzdF_x=rgdV

где элементарный объем жидкости, основанием которого является площадка , а высотой — расстояние от этой площадки до свободной поверхности жидкости z, то, проинтегрировав по всему объему V, получим

Таким образом, вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе тяжести жидкости в объеме V, называемом телом давления.

Результирующая сила давления жидкости на криволинейную стенку цилиндрической формы Р равна геометрической сумме составляющих

и направлена под углом а к горизонту

 

Для нахождения тела давления можно воспользоваться следующим определением: тело давления - это объем ограниченный рассматриваемой кривoлинейной стенкой, смоченной жидкостью, вертикальной цилиндрической поверхностью, проведенной через контур этой стенки, и горизонтальной плоскостью, про­веденной по свободной поверхности жидкости.

Тело давления условно считается реальным, если его объем, прилегающий к стенке, заполнен жидкостью; составляющая при этом направлена вниз. Тело давления условно считается фиктивным, если его объем, прилегающий к стенке, не заполнен жидкостью; составляющая Р_z при этом направлена вверх.

На рис. 2.14 приведено несколько примеров тел давления для криволинейных стенок различной формы.

Пример. Определить силу давления нефти Р на цилиндрическую стенку резервуара (рис. 2.15) и угол наклона линии действия этой силы к горизонту ,если радиус стенки м, ширина стенки м, высота нефти в резервуаре . Относительная плотность нефти

Вертикальная проекция криволинейной стенки представляет собой прямоугольник, площадь которого равна

Расстояние центра тяжести от свободной поверхности нефти равно

Тело давления представляет собой разность объемов параллелепипеда высотой H, шириной В и длиной R и четверти цилиндра с радиусом R и шириной В.

Таким образом, по уравнениям (2.27)—(2.29):

 

Угол наклона линии действия силы давления к горизонту определим из уравнения (2.30)

Закон Архимеда

Сила, с которой жидкость воздействует на погруженное в нее тело, равна весу жидкости в объеме погруженного тела. Плавучесть тела определяется условиями его равновесия на свободной поверхности.

Плавающее тело при качке может наклоняться в одну и в другую сторону или, как обычно говорят, давать крен. Способность судна выходить из крена в первоначальное положение называется остойчивостью судна.

Метацентром называют точку пересечения оси плавания с линией действия архимедовой силы при крене плавающего тела или судна. Метацентрической высотой называют превышение метацентра над центром тяжести тела. Для остойчивости судна или тела надо иметь положительное значение метацентрической высоты.Рассмотрим погруженное в покоящуюся жидкость твердое тело произвольной формы, объем которого V (рис. 2.16). В соответствии с уравнением (2.26) на поверхность этого тела со стороны жид­кости будет действовать сила

Если рассечь тело вертикальными плоскостями, параллель­ными плоскостям xOz и yOz, таким образом, чтобы площади сечений получились максимальными, то нетрудно показать, что горизонтальные составляющие Р_х и Р_у равны нулю, так как на каждую из частей будут действовать равные и противоположно направленные силы:

 

 

Вертикальная составляющая силы давления жидкости на тело

 

Где V’- объем ABCDEA, — объем AFCDEA, результирующий объем тела давления, равный в данном случае объему погруженного в жидкость тела (объему ABCFA) и являющийся фиктивным. '

Подставляя в уравнение (2.26) значения , получим

 

(2.31)

 

На погруженное в жидкость тело действует архимедова сила, направленная вертикально вверх и равная силе тяжести жидкости в объеме погруженной части тела. Это и есть закон Архимеда, открытый им в 250 году до н. э.

В уравнении (2.31): Р—архимедова сила, V—объемное водоизмещение (объем вытесненной телом жидкости), —водоизмещение (масса вытесненной телом жидкости).

Тело, погруженное в покоящуюся жидкость, находится под действием двух сил: силы тяжести , приложенной в центре тяжести тела, и архимедовой силы , приложенной в центре объемного водоизмещения. В этих формулах: — плотность тела, — плотность жидкости.

При погружении тела в жидкость может быть три характерных случая:

1. , т. е. сила тяжести тела больше архимедовой силы в этом случае их результирующая будет направлена вниз, следовательно, тело тонет.

2. , т. е. сила тяжести тела равна архимедовой силе; в этом случае их результирующая , следовательно тело будет находиться в жидкости в состоянии безразличного равновесия (подводное плавание).

3. , т. е. сила тяжести тела меньше архимедовой силы в этом случае их результирующая будет направлена вверх, следовательно, тело всплывает.

В последнем случае при выходе части тела из жидкости архимедова сила уменьшается и в определенный момент наступит равновесие (надводное плавание). Объем погруженной части плавающего на поверхности жидкости тела может быть найден по формуле

Для равновесия тела при подводном или надводном плавании помимо равенства сил необходимо еще равенство нулю суммарного момента. Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной плоскости с центром водоизмещения. Более подробно вопросы плавания тел и устойчивости их равновесия рассматриваются в специальных курсах.

Закон Архимеда широко используется при расчете и проектировании судов и других плавающих средств, различных поплав­ковых устройств (датчиков уровня, дифманометрев поплавкового типа), в гравитационных методах обогащения полезных ископа­емых и т. д.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют гидростатическим давлением? В каких единицах его выражают? Каковы свойства гидростатического давления?

2. Что называют избыточным, абсолютным давлением, вакуумом?
Чему равна наибольшая величина вакуума?

3. Объясните физический смысл величин, входящих в дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера?

4. В чем разница между напором и давлением?

5. Что такое поверхность равного давления? Каковы ее формы
и уравнения при абсолютном покое, в случае движения сосуда вокруг
вертикальной оси?

6. Как формулируется закон Паскаля и какова его связь с основным уравнением гидростатики?

7. Почему центр давления находится ниже центра тяжести смо­ченной поверхности наклонной плоскости стенки?

8. Какие правила следует соблюдать при вычерчивании тела давления?

9. Сформулируйте закон Архимеда и напишите условия плавания тел.

10. Что такое плавучесть и остойчивость судна?

11. Дайте определения понятиям: метацентр, метацентрическая
высота, метацентрический радиус, водоизмещение.

12. Изложите условия статической остойчивости судна.