Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-09-10 | 272 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и
Непрерывной правой частью
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
, (6. 1)
f (t) – непрерывная функция действительного переменного.
Требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
(6. 2)
где – заданные числа (задача Коши).
Будем предполагать, что функция f (t) является оригиналом. Искомую функцию y (t) и её производные также предполагаем оригиналами. Полагаем f (t) = L –1{ F (p)}, y (t) = L –1{ Y (p)}.
Для решения поставленной задачи (6. 1), (6. 2) перейдём от уравнения (6. 1) к изображающему (или операторному) уравнению, связывающему изображения Y (p) и F (p).
Применяя два раз теорему о дифференцировании оригинала, получим:
Далее, применяя теорему линейности перейдём от уравнения (6. 1) к операторному уравнению:
. (6.3)
Из уравнения (6. 3) выразим .Искомое частное решение y (t) является оригиналом, соответствующим данному изображению. Оно определяется с помощью таблиц соответствия.
Задание 4. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям:
Решение. Обозначим через y (t) искомое частное решение, через Y (p) – его изображение. Тогда:
Операторное уравнение будет иметь вид
откуда
.
Дробь разложим на сумму простых элементарных дробей и найдем коэффициенты разложения:
Из системы:
Откуда .
Тогда
.
Используя таблицы соответствия, найдём:
Таким образом, искомое частное решение:
Тема 7. Основные уравнения математической физики.
1.Знать определение дифференциального уравнения в частных производных.
2.Знать, что является решением дифференциальных уравнений в частных производных, какие условия являются начальными, а какие граничными (краевыми).
3.Уметь находить решение задачи Коши о колебаниях бесконечной струны.
Задания для самостоятельного выполнения
1 Методом Даламбера найти уравнение u = u (x. t) формы однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением
если в начальный момент t 0 = 0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяются соответственно заданными функциями
u(x,0) = fx), :
а) ; б) .
Образец решения задания
Рассмотрим задачу Коши для бесконечной однородной струны. Пусть требуется найти решение волнового уравнения
при начальных условиях
u(x,0) = fx), .
Искомое решение задачи Коши для бесконечной струны u (x,t) определяется по формуле:
,
которая называется формулой Даламбера для бесконечной струны.
Задание 1. Найти форму бесконечной однородной струны, если начальная форма струны f (x) = ex, а начальная скорость ее F (x) = cos2 x.
Решение. Искомое решение u (x,t) найдем по формуле Даламбера:
.
Так как f (x) = ex, F (x) = cos2 x, то
.
Тема 8. Математическая статистика
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!