Критерий положительной определённости квадратичной формы.

Вопрос.

Ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц.

Наивысший порядок миноров, отличных от 0, называется рангом матрицы.
Ранг ступенчатой матрицы = числу нулевых строк.
Преобразования матрицы, не изменяющие ее ранг:
1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).
2. Умножение всех элементов строки (столбца) на число, отличное от нуля.
3. Изменение порядка строк (столбцов).

4. Прибавление каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
5. Транспонирование матрицы.
Теорема о ранге матрицы.
Ранг матрицы А является наибольшим такие числом r, что в матрицы А имеется r строк (r столбцов), образующих линейно независимую систему.
Максимальное число линейно независимых строк матрицы = максимальному числу ее линейно независимых столбцов.
Система из k строк (столбцов) А1, А2,…,Аk называется линейно независимой, если равенство возможно только а1 = а2 = … =аk =0, т.е. когда линейная комбинация в левой части тривиальная.
Теорема. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей.
Следствие. Если A и B — квадратные матрицы одного и того же порядка и |A| 6= 0, то

ранг матрицы AB равен рангу матрицы B.

12 вопрос.

Понятие системы линейных уравнений. Общая теория решения системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k ₁, k ₂,..., k_n), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x ₁, x ₂,..., x_n дает верное числовое равенство.

Решением системы уравнений называется набор n чисел х1 = а1, х2 = а2, хn = an, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в верное равенство.

Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.

2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.

3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.

 

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

 

 

13 вопрос.

Методы решения системы уравнений: метод обратной матриц, формулы Крамера, метод Гаусса. Векторная запись системы уравнений.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

• , где обозначает определитель.

• для любых двух обратимых матриц и .

• , где обозначает транспонированную матрицу.

• для любого коэффициента .

• .

 

Формула Крамера

X=

Метод Гаусса

Векторная запись системы уравнений.

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или: .

 

Вопрос.

Системы однородных линейных уравнений. Решение системы однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Собственные значения и собственные векторы.

Системы однородных линейных уравнений

a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n xn = 0

a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n xn = 0

… … … … … … … … … … …

am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn = 0

 

Система (1) всегда совместна, так как:

1. имеет очевидное решение x ₁⁰ = x ₂⁰ = … = x_n ⁰ = 0, которое называется нулевым, или тривиальным;

2. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли;

3. θ ∈ Img ^ A, так как Img ^ A — линейное пространство.

Естественно, нас интересуют нетривиальные решения однородной системы.

. Решение системы однородных уравнений

Фундаментальная система решений

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn.Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.

Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы.

Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образует фундаментальную систему решений однородной системы.

Собственные значения и собственные векторы.

Подпространство называется инвариантным подпространством линейного преобразования ( -инвариантным подпространством), если

.

• Собственные подпространства , корневые подпространства и подпространства линейного оператора являются -инвариантными.

• Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): ;

• Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей

, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

• Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

если .

• Метод поиска собственных значений для самосопряженных операторов, и поиска сингулярных чисел для нормального оператора дает теорема Куранта — Фишера.

15 вопрос.

. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравнений.

Базисные (главные) и свободные неизвестные.

Если ранг системы меньше числа неизвестных и система разрешима, то решений получится множество. Это множество решений принято описывать специальным образом. Например, пусть имеется 3 неизвестных, а независимых уравнений только 2. Одно из неизвестных можно перенести (вместе с его коэффициентом) в правую часть (с обратным знаком, конечно), и объявить это неизвестное "свободным". Ему можно произвольно задавать любые значения, а оставшиеся два неизвестных будут единственным образом выражаться через правые части. Эти два неизвестных называются "базисными".

Пример: x+y+z=2, x-y+z+3; x+y=2-z, x-y=3-z;

Здесь z - свободное неизвестное, x,y - базисные неизвестные;

Ответ: x=5/2-z, y=1/2.

 

Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неиз-вестных.

Как известно, уравнения с двумя переменными вида

описывают на координатной плоскости Оху прямую. Система двух уравнений такого вида означает, что ее решения как точки на координатной плоскости должны принадлежать одновременно двум прямым, соответствующим уравнениям этой системы. Отсюда возможны следующие варианты: а) обе прямые пересекаются, и тогда система имеет единственное решение; б) прямые параллельны, и система не имеет решения (несовместна); в) прямые совпадают, т.е. ранг системы равен единице, и система имеет бесчисленное множество решений.

Уравнение с тремя переменными вида

описывает плоскость в трехмерном пространстве. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными — это точки пространства, принадлежащие одновременно трем плоскостям, которые описываются уравнениями системы. В этом случае возможны следующие варианты: а) три плоскости пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение; б) три плоскости пересекаются по одной прямой — система имеет бесчисленное множество решений (все точки на этой прямой); в) две плоскости совпадают, а третья пересекает их — бесчисленное множество решений (все точки прямой — на пересечении трех плоскостей), ранг системы равен двум; г) все три плоскости совпадают — все точки общей плоскости являются решениями, и ранг системы равен единице; д) хотя бы одна из плоскостей параллельна какой-либо из двух других — система несовместна; е) плоскости пересекаются попарно по параллельным прямым — система несовместна. В последних двух случаях несовместность системы уравнений обусловлена тем, что нет таких точек трехмерного пространства, которые принадлежали бы одновременно всем трем плоскостям.

Ненулевые решения однородной системы уравнений.

Теорема. Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. .

Пример. Решить систему .

Решение.

система имеет только нулевое решение .

 

Ответ: .

 

16 вопрос.

Определение и примеры линейных операторов. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.

Пусть А – линейный оператор, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L.

Опр. – Ненулевой вектор х L, называется собственным вектором линейного оператора А:L L, если существует такое действительное число, что выполняется равенство Ах = × Х. Число называется собственным значением оператора А, соответствующим собственному вектору x.

Если матрица линейного оператора А:L L в бизисе е= () является диагональной, то на ее диагонали расположены собственные значения оператора А, повторяющиеся столько раз, какова их кратность.

Если характеристическое уравнение линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве, имеет n попарно различных действительных корней, то существует базис, в котором матрица линейного оператора является диагональной.

Если характеристическое уравнение линейного оператора имеет кратные действительные корни, то может не существовать базиса, в котором матрица линейного оператора будет диагональной.

17 вопрос.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

 

Если x и y собственные векторы оператора А, отвечающие собственному значению, то вектор х+у также является собственным вектором, отвечающий собственному значению.

Множество всех собственных векторов, отвечающих данному собственному значению линейного оператора А, не является линейным подпространством пространства L, т.к. это множество не содержит нулевого элемента. Добавив к этому множеству нулевой элемент, получим линейное подпространство пространства L, которое называется собственным подпространством линейного оператора.

Собственный вектор линейного оператора А может отвечать только одному собственному значению.

Теорема – собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Существует базис, в котором матрица линейного оператора А:L L является диагональной тогда и только тогда, когда сумма размерностей всех собственных подпространств линейного оператора А равна размерности линейного пространства L.

 

18 вопрос.

Характеристический многочлен линейного оператора. О корнях характеристического многочлена линейного оператора. Свойства собственных векторов с одинаковыми и различными собственными значениями.

 

Теорема 5. Пусть — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве над полем . Для диагонализируемости необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:

1. все корни характеристического многочлена лежат в ;

2. геометрическая кратность каждого собственного значения совпадает с его алгебраической кратностью.

19 вопрос.

Линейный функционал. Формула линейного функционала.

20 вопрос.

Матрица билинейной формы. Матрица симметричной билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса.

Опр. - Билинейной формой на пространстве L называется всякая числовая функция двух векторных аргументов, линейная по каждому аргументу, то есть для всех x,y,z L, R:

B(x+y,z)=B(x,z) + B(y,z), B(x,y) = B(x,y)

B(x,y+z)=B(x,y) + B(x,z), B(x,) = B(x,y)

Теорема. Пусть – один из базисов в линейном пространстве L, тогда биллинейная функция B(x,y) = () () =

может быть записана и в матричной форме B(x,y) = AY, где Х,У – матрицы векторы

х,у L, А- матрица билинейной функции с элементами = B()

Опр. - Билинейная форма называется симметрической, если ее значения не изменяются при перестановке аргументов B(x,y) = B(y,x) для всех х,у L.

Теорема. Билинейная форма является симметрической тогда и только тогда, когда ее матрица симметрична = А, причем выполнение этого условия не зависит от выбора базиса линейного пространства.

Опр. - Квадратичной формой на пространстве L называется такая числовая функция Q: L R, что Q(x) = B(x,x) для некоторой симметрической билинейной формы В при всех х L.

Теорема. Существует только одна симметрическая билинейная форма, порождающая данную квадратичную форму. Квадратичная форма от нескольких переменных, может быть представлена однородным многочленом второй степени от.

Квадратичная форма от двух переменных имеет вид:

Q() = a + b + c

Чтобы найти матрицу А квадратичной формы, запишем квадратичную форму от двух переменных в виде:

Q(= a + + + c

21 вопрос.

Определение квадратичной формы. Преобразование квадратичных форм. Квадратичные формы канонического вида. Единственность симметричной билинейной формы, порождающей квадратичную форму.

Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от n переменных с действительными коэффициентами

f ()=, где =,

 

Симметрическая матрица А = составленная из коэффициентов квадратичной формы, называется матрицей квадратичной формы.

Привести квадратичную форму к каноническому виду - значит представить ее следующим образом:

.

 

22 вопрос.

Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм. Билинейные формы.

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Базисе

Пусть V _ пространство со скалярным произведением, P _

ортонормированный базис в V, A _ линейный оператор в V, имеющий в

базисе P матрицу A, а A∗ _ сопряженный к A оператор в V, имеющий в

базисе P матрицу A′. Тогда A′ = A⊤.

Определение

Если A _ матрица над полем C, то матрица A⊤ называется эрмитово

сопряженной к матрице A и обозначается A∗.

ение о собственных векторах самосопряженного оператора

Собственные векторы самосопряженного оператора, относящиеся к его

различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть A _ самосопряженный оператор, а x и y _

собственные векторы оператора A, относящиеся к его различным

собственным значениям _1 и _2 соответственно. Учитывая, что, в силу

предложения о собственных значениях самосопряженного оператора, _2 _

действительное число, имеем

A(x) ・ y = (_1x)y = _1(xy) и x ・ A(y) = x(_2y) = _2(xy) = _2(xy).
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Для приведения квадратичной формы переменных к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.

1. Выбрать такую переменную (ведущую), которая входит в квадратичную форму во второй и в первой степени одновременно (если в квадратичной форме есть член с квадратом переменной и с произведением этой переменной на другую переменную), и перейти к пункту 2.

 

Если в квадратичной форме нет ведущих переменных, то выбрать пару переменных, произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом, и перейти к п.3.

 

Если в квадратичной форме отсутствуют произведения различных переменных, то никаких преобразований делать не надо, так как она уже имеет канонический вид.

 

2. По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квадратичной форме все члены с ведущей переменной, дополнить сумму этих членов до полного квадрата (разумеется, добавленные члены нужно также и вычесть, чтобы не изменилась сумма). Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы (в которую входит ведущая переменная) и квадратичной формы, в которую ведущая переменная не входит. Сделать замену переменных: линейную форму, содержащую ведущую переменную, принять за одну из новых переменных, а все старые переменные, за исключением ведущей, принять за соответствующие новые. Продолжить преобразования с пункта 1.

3. Выбранную пару переменных заменить на разность и сумму двух новых переменных, а остальные старые переменные принять за соответствующие новые переменные. При этом произведение пары выбранных переменных преобразуется к разности квадратов двух новых переменных, т.е. в новой квадратичной форме будут квадраты переменных с отличными от нуля коэффициентами. Продолжить преобразования новой квадратичной формы с пункта 1.

Идея метода Лагранжа состоит в том, что прием, используемый в п.2 (выделение полного квадрата), исключает одну переменную из числа ведущих. Например, если переменная — ведущая (т.е. и хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля), то выделяем полный квадрат по переменной (собираем все члены с и дополняем их сумму до полного квадрата):

Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть полный квадрат. Поэтому

 

где — квадратичная форма, в которую не входит ведущая переменная — линейная форма, содержащая ведущую переменную . Обозначим , или, что то же самое, сделаем линейную замену переменных:

Тогда данная квадратичная форма преобразуется к виду .

24 вопрос

Преобразование координат точки при замене системы координат? Линейные отображения. Линейные операторы, связанные с линейными отображениями?. Геометрические свойства линейных отображений?. Аффинные и изометрические отображения.

Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции ) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие отнелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Лине́йным отображе́нием векторного пространства над полем в векторное пространство (лине́йным опера́тором из в ) над тем же полем называется отображение

,

удовлетворяющее условию линейности

,

.

для всех и .

Пространство линейных отображений

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля как

•

•

множество всех линейных отображений из в превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как

Аффинное отображение

Линейные отображения пространства в пространство являются подмножеством более широкого класса отображений.

Рассмотрим пример 5 ☞ ЗДЕСЬ. Отображение пространства в пространство , задаваемое соотношением

будет линейным отображением при условии, что и не будет линейным отображением при хотя бы одном из чисел отличном от нуля. Тем не менее, по своему внешнему виду отображение из в , задаваемое в матричном виде как очень напоминает линейную функцию , действующую в . Кажется очень несправедливым лишать подобные отображения эпитета линейный, однако же именно это и произошло в линейной алгебре и геометрии.

Аффинным 5) отображением линейного векторного пространства с операцией сложения векторов, обозначаемой , в линейное векторное пространство с операцией сложения векторов, обозначаемой , называется функция вида

Здесь — линейное отображение в , а — некоторый вектор пространства .

Теорема. Аффинное отображение отображает произвольное линейное многообразие пространства в линейное же многообразие пространства . Аффинное отображение отображает параллельные многообразия пространства в параллельные же многообразия пространства .

Аффинное отображение отображает произвольную прямую пространства в прямую или точку пространства .

Изометрические преобразования

 

Аффинное преобразование называется изометрическим, если оно сохраняет расстояния между точками.

Рассмотрим любые три точки , не лежащие на одной прямой. Пусть точки получены из них при помощи изометрического преобразования. Так как расстояния между точками не изменилось, то Отсюда следует, что изометрическое преобразование не меняет углы между прямыми.

 

Теорема Матрица изометрического преобразования ортогональна. Доказательство [показать]

 

Преобразование ортогональных систем координат [править]

Преобразование на плоскости [править]

Преобразование в некоторой прямоугольной системе координат, заданное формулами

 

называется скользящей симметрией.

 

Теорема Всякая изометрия плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом относительно некоторой точки, либо скользящей симметрией. Доказательство [показать]

 

Преобразования в пространстве [править]

Преобразования, заданные формулами

 

называются винтовым вращением, скользящей симметрией и зеркальным вращением соответственно.

 

Теорема Всякая изометрия пространства является одним из следующих преобразований: 1. винтовое вращение 2. скользящая симметрия 3. зеркальное вращение

 

25 вопрос.

Прямоугольная система координат на плоскости. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат и (крестом). Оси координат пересекаются в точке , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

 

 

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами и . Координата равна длине отрезка , координата — длине отрезка в выбранных единицах измерения. Отрезки и определяются линиями, проведёнными из точки параллельно осям и соответственно.

При этом координате приписывается знак минус, если точка лежит на луче (а не на луче , как на рисунке). Координате приписывается знак минус, если точка лежит на луче . Таким образом, и являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).

Ось называется осью абсцисс, а ось - осью ординат. Координата называется абсциссой точки , координата — ординатой точки .

Символически это записывают так:

или

или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

и т. д.

• В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси вверх, ось смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).

• Четыре угла (I, II, III, IV; ), образованные осями координат и , называются координатными углами, четвертями или квадрантами (см. рис. 1).

• Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.

• Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.

• Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты

• Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

Определение.

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

 

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

• Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b) на плоскости:

AB = √(x_b - x_a)² + (y_b - y_a)²

• Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:

AB = √(x_b - x_a)² + (y_b - y_a)² + (z_b - z_a)²

26 вопрос.

Общее уравнение прямой на плоскости. Различные способы задания прямой на плоскости.

Общее уравнение

 

Ax + By + C (> 0).

Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0, где - радиус-вектор произвольной точки на прямой.

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

27 вопрос.

Параметрическое и каноническое уравнения прямой.

уравнение вида называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Уравнение также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Уравнения полученной системы называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Смысл такого названия прост: координаты всех точек прямой могут быть вычислены по параметрическим уравнениям прямой на плоскости вида при переборе всех действительных значений параметра .

28 вопрос.

Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

 

Условия па Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l1:

l2:

Угол между прямыми ϕ и угол между направляющими векторами ϕ этих