Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-08-24 | 672 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1.Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.
2.При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число.
Доказательство свойства 1. Пусть в базисе { 1, 2, 3 } имеем () и (). Рассмотрим + = ( 1+ 2+ 3) + ( 1+ 2+ 3). Воспользовавшись свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, раскрываем скобки и группируем слагаемые по базисным векторам. При этом получим
+ = ( + ) 1 + ( + ) 2 + ( + ) 3.
Следовательно, + ( + , + , + ).
Свойство доказано.
Доказательство свойства 2. Пусть в базисе { 1, 2, 3 } имеем () и некоторое число l. Если l = 0, то l = и l = 0, l = 0, l = 0. Свойство 2 справедливо. Если l ¹ 0, то имеем:
l = l ( 1+ 2+ 3) = l 1+ l 2+ l 3,
то есть
l (l , l , l ).
Свойство доказано.
Замечание. Доказанное свойство 1 можно доказать и для любого конечного числа слагаемых.
При решении задач, связанных с вычислением длин векторов, величины углов мы будем пользоваться так называемым ортонормированным базисом. Этот базис мы обозначаем { }, и при этом выполняются следующие условия: длины векторов равны единице, сами векторы попарно перпендикулярны и образуют так называемую правую тройку (см. § 6).
Теорема 4. Пусть в базисе { } задан вектор (). Тогда
| | = .
Доказательство. Согласно теореме 3 имеем единственное разложение
= + + .
Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: = , = , = , = + + . При этом получим прямоугольный параллелепипед с ребрами ОА, ОВ, ОС и диагональю ОМ, |OA| =| |, |OB| =| |, |ОС| = | |,
|OM| = = .
Теорема доказана.
Пример1.
Дан ортонормированный базис В этом базисе задан вектор Найти координаты вектора , который коллинеарен вектору и имеет длину, равную 5.
Решение. Из коллинеарности векторов и следует, что существует единственное число a ¹ 0, такое что . Так как (–1; -2; 2), то координаты вектора будут соответственно равны ()
|
Из условия, что длина вектора равна 5, получаем следующее равенство: , откуда
9 2 =25, 2 = , или .
Последнее означает, что задача имеет два решения:
, .
Пример 2.
Треугольник АВС построен на векторах (0,-3,4) и
(2,-1,2) в ортонормированном базисе .
Найти координаты вектора, параллельного биссектрисе угла ВАС.
Решение.
Построим вектора и такие, что: и , причем . На данных векторах построим ромб . Диагональ AD ромба лежит на биссектрисе угла . Следовательно, вектор параллелен биссектрисе угла и, при этом, = + (1).
Из построения векторов и получаем следующие равенства:
= и = .
Из последних равенств и равенства (1) следует, что
= + .
Так как и , то
=5 +3 ,
откуда
(10;−14;22).
Так как вектор параллелен биссектрисе угла , то и вектор (5,−7,11) будет параллельным этой биссектрисе. Любой другой вектор , параллельный биссектрисе угла , будет иметь координаты
где
Таким образом, решением является вектор где
Пример 3.
Дан параллелепипед . Точки и - середины соответственно ребер и . В качестве базисных векторов взяты векторы , , . Найти координаты векторов , и в данном базисе.
Решение.
1) (1), (2),
, откуда (3).
Из равенств (1), (2), (3) следует, что .
Используя свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов, получаем следующее равенство: .
Следовательно, .
2) , откуда получаем: .
3) (1), , откуда (2),
, откуда (3).
Из равенств (1), (2) и (3) имеем: .
Следовательно, , откуда .
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!