Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-08-23 | 210 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть X ~ F (x, q), причём вид функции распределения F (x, q) известен, а параметр q неизвестен (считаем его одномерным). Требуется по выборке указать такой интервал [ , ], который с заданной вероятностью a накрывает неизвестный параметр q:
P { £q£ }=a.
Сам интервал [ , ] называется доверительным, а a – доверительной вероятностью. Концы интервала – функции от выборки:
= (x 1, x 2, ¼, xn), = (x 1, x 2, ¼, xn)
и являются случайными величинами. Желательно иметь a близким к единице, а интервал – поменьше. Однако увеличивая a, мы будем получать всё более широкие интервалы и тем самым всё менее информативные интервалы, всё менее интересные. Желательным свойством можно считать условие: - 0, тогда при достаточно большом числе наблюдений можно как угодно точно локализовать параметр q.
В качестве a обычно берут числа 0,99, 0,95, 0,9. Выбор доверительной вероятности зависит от практических последствий в случае, когда доверительный интервал не накроет q. При a=0,9 следует ожидать, что в среднем мы будем промахиваться в десятой части всех применений данного доверительного интервала. Если это не страшно, то можно брать a=0,9. Если же нас в этих случаях ждут большие материальные потери или это ведёт к опасностям для человеческой жизни, то такая доверительная вероятность недопустимо мала.
Легко строить доверительный интервал для q, если мы имеем для параметра точечную оценку (x 1, x 2, ¼, xn) и хотя бы приближённо знаем закон её распределения. Именно в этом случае по закону распределения , задавая a, мы можем находить такое e, чтобы
P {| -q|£e}=a.
Иногда a называют надёжностью оценки, а e – её точностью. Здесь можно переписать неравенство под знаком вероятности в следующем виде:
|
P { -e£q£ +e}=a,
и искомый доверительный интервал имеет вид [ -e, +e] и длину 2e.
Разберём несколько задач на построение доверительных интервалов.
1°. Приближённый доверительный интервал для вероятности события.
Пусть имеется событие A и для его вероятности P (A)= p мы хотим построить доверительный интервал, сделав n опытов. Допустим, что в этих опытах событие A наступило m раз.
По интегральной теореме Муавра-Лапласа:
P { a £ £ b }» dy.
Возьмём a =-e, b =e:
P {| |£e}» dy =F(e), "e>0.
Стоящее под знаком вероятности неравенство заменим равносильным:
P { m 2-2 mnp + n 2 p 2£e2 npq }»F(e), "e>0,
или, заменяя q на 1- p:
P { p 2(n 2+e2 n)- p (2 mn +e2 n)+ m 2£0}»F(e), "e>0.
Кривая y = p 2(n 2+e2 n)- p (2 mn +e2 n)+ m 2 как функция p является параболой.
Пусть её корни p 1, p 2, причём p 1< p 2, т. е.
P { p 1£ p £ p 2}»F(e), "e>0
и теперь мы можем указать процедуру построения доверительного интервала для p:
a) Задаём доверительную вероятность a.
b) По a находим e из уравнения F(e)=a; корень уравнения легко определяется с помощью таблицы функции Лапласа.
c) Решаем квадратное уравнение p 2(n 2+e2 n)- p (2 mn +e2 n)+ m 2=0, находим его корни p 1, p 2, p 1< p 2.
d) Искомый приближённый доверительный интервал имеет вид: [ p 1, p 2].
Точность этого интервала зависит от того, достаточно ли мала ошибка при использовании теоремы Муавра-Лапласа, можно ли практически считать, что
m ~ N (np, ).
2°. Доверительный интервал для параметра a нормального закона при известном s.
Пусть X ~ N (a, s), причём s известно.
Получаем выборку (x 1, x 2, ¼, xn). Среднее выборочное: ~ N (a, ). Его нормированное уклонение:
= ~ N (0, 1).
Поэтому:
P =F(e), "e>0.
Заменим неравенство под знаком вероятности равносильным, разрешив его относительно a:
P { - £ a £ + }=F(e)
и можно сформулировать процедуру построения доверительного интервала для параметра a:
a) Задаём доверительную вероятность a.
b) По a с помощью таблицы функции Лапласа находим e из уравнения F(e)=a.
c) Искомый доверительный интервал имеет вид [ - , + ],
|
Отметим, что длина доверительного интервала сколь угодно мала при больших n: 0.
3°. Доверительные интервалы для параметров нормального закона.
Пусть X ~ N (a, s) и оба параметра неизвестны. Воспользуемся следующей теоремой о выборочном среднем и выборочной дисперсии S 2 для выборки из нормального закона:
a) ~ N (a, );
b) nS 2~c ;
c) S 2 – независимые случайные величины;
d) ( - a)~ Tn -1.
Пункт a) этой теоремы очевиден, пункт d) следует из трёх предыдущих.
Действительно,
~ N (0, 1); ~c n -1
и из независимости и S следует, что отношение : = распределено по закону Стьюдента с (n -1) степенями свободы.
Пункты b) и c) примем без доказательства. Ограничимся только следующими замечаниями.
В выражении
=
слагаемые – квадраты случайных величин , распределённых по нормальному закону; если бы они были независимыми, то, как мы знаем, сумма была бы распределена по закону c n 2; однако они связаны линейной зависимостью:
=0.
Оказывается, это влияет лишь на число степеней свободы у c2, понижая его на единицу. Можно вместо величин (x 1, x 2, ¼, xn) ввести с помощью линейного преобразования такие новые величины, которые остаются независимыми и нормальными, причем и S 2 выражаются через различные новые переменные. Это и обеспечивает независимость. К тому же S 2 выражается через квадраты ровно (n -1) таких новых величин, что и приводит к c . Осуществление этой программы мы здесь опустим.
Теперь построить доверительный интервал для a уже нетрудно:
P { | - a |£e}=2 pTn -1(t) dt, "e>0,
или
P { -e S £ a £ +e S }=2 pTn -1(t) dt.
Строим доверительный интервал так:
a) Задаём a.
b) По a из таблицы распределения Стьюдента находим значение e из уравнения pTn -1(t) dt = .
c) Нужный интервал имеет вид: [ -e S, +e S ].
Теорема о выборочном среднем позволяет построить доверительные интервалы также для s2и s. Действительно, так как nS 2~c , то для любых x 1, x 2, таких, что 0£ x 1< x 2<+¥:
P { x 1£ nS 2£ x 2}= (x) dx.
Перепишем неравенство под знаком вероятности, решив его относительно s2:
P { £s2£ }= (x) dx.
|
Обычно выбирают x 1, и x 2так, чтобы заштрихованные на рисунке площади были равны. Если мы хотим построить интервал с доверительной вероятностью a, то величина каждой из этих площадей, очевидно, равна .
|
Процедура построения интервала:
a) Задаём a.
b) Находим x 1, и x 2по таблицам c2-распределения из уравнений:
(x) dx = , (x) dx = .
c) Вычисляем , что и решает нашу задачу.
Очевидно, для параметра s доверительный интервал выглядит следующим образом:
.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!