Геометрическая теория организационных сетей

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СЕТЕЙ

 

Примеры моделей сетевых структур взаимодействия, рассмотренные в предыдущей главе, а так же многочисленные им подобные сетевые модели, использовавшиеся ранее для представления и анализа сетевых структур, допускают естественное обобщение и систематизацию на языке общей алгебры и теории алгебраических систем [5,6]. В настоящей главе рассматривается один из вариантов такого обобщения – мультиоператорные сети [8], и детально изучаются абстрактные геометрические свойства моделей, полученных в результате предложенного обобщающего подхода.

Организационные структуры как мультиоператорные сети

Геометрические характеристики организационных сетей

 

Обсуждение и постановка задачи характеризации

Градуированных сетей

 

В настоящем пункте рассматриваются организационные сети – классическое понятие теории управления и организации производства [4]. Традиционно, сети принято изображать диаграммами [1,2]. Диаграмма сети представляет собой размещенный на плоскости (или, при необходимости, для достижения наглядности при моделировании и представлении сложных сетей – в трехмерном пространстве) граф [2] , где – множество вершин, интерпретируемых как узлы организационной сети (предприятия, организации, структурные единицы), – множество ребер этого графа, интерпретируемых как организационные связи между составляющими сеть узлами.

В предыдущем разделе 2.1 введено понятие градуированной организационной сети [8–10] и показано, что большинство встречающихся в практической деятельности организационных сетей, является градуированными. В настоящем пункте сузим общее понятие градуировки сети с помощью произвольного частично-упорядоченного множества и будем рассматривать только градуировки сетей с помощью натуральных чисел. Таким образом, градуированная организационная сеть – это сеть, имеющая гомоморфизм на начальный отрезок натурального ряда , упорядоченный естественным образом отношением порядка . Содержательно, отображение присваивает элементам (предприятиям) сети некоторое натуральное число – приоритет, или ранг, означающий важность и значимость предприятия в сети с точки зрения его производственных функций.

Условимся считать, что чем важнее предприятие сети с точки зрения стоящих перед сетью производственных задач, тем меньше его ранг как натуральное число. Таким образом, наиболее важные узлы сети – предприятия «первого ранга», а менее значимые предприятия получают «более низкие ранги», выражаемые большими по величине натуральными числами. Наличие градуировки (или её потенциальная возможность) является отличительной особенностью большинства реальных организационных сетей [8,10].

В п. 2.1.2 было отмечено, что если имеется градуировка сети , то сеть естественным образом разбивается на классы узлов одинакового ранга Будем называть классы разбиения уровнями. Имеем , то есть на уровне содержатся все узлы сети , имеющие ранг . Уровни удобно представлять в виде расположенных друг над другом горизонтальных плоскостей, на каждой из которых находятся все узлы сети, ранг которых равен номеру этой плоскости [10].

Рис.2.4. Примеры диаграмм градуированных организационных сетей разных типов и их разбиение на уровни

Иерархическая организационная структура

Радиально-планетарная организационная структура

градуировка

градуировка

уровни

Уровни-орбиты

Примеры диаграмм градуированных сетей и их разбиений на уровни приведены на рисунке 2.4.

 

 

На рисунке 2.4 изображены примеры градуированных диаграмм иерархической структуры и радиально-планетарной организационной сети, рассматривавшихся в [4,11]. Видно, что ребра (организационные связи) идут из вершин данного ранга в вершины следующего ранга, но не «перескакивают» через уровень – это запрещено по определению градуированной сети.

Стандартным общеупотребительным способом задания сетей и хранения их в электронном виде является представление сетей матрицами смежности (или матрицами потоков). Пусть дана сеть , узлы которой занумерованы последовательными натуральными числами (здесь – номер узла , – число узлов сети ). Напомним, что матрица смежности сети имеет размеры и определяется следующим образом [2]:

Матрицы смежности графов и сетей – наиболее распространенный и общеизвестный способ представления сетей, приспособленный для хранения конфигурации сетей в компьютерном виде. Известно, что всякая сеть определяется своей матрицей смежности однозначно, с точностью до изоморфизма [2], то есть матрица смежности задаёт диаграмму сети (узлы и связи) однозначно, с точностью до расположения узлов на плоскости и формы линий, соединяющих эти узлы. Этими обстоятельствами объясняется повсеместное использование матриц смежности для хранения, анализа и компьютерной обработки информации об организационных сетях и иных сетевых структурах.

Однако, как нетрудно видеть, метод представления сетей матрицами смежности страдает существенными недостатками. Прежде всего, матричный метод является избыточным способом (особенно при наличии априорной дополнительной информации об устройстве сети и виде её диаграммы). Значительные объемы памяти в матрицах смежности занимают одинаковые числа, матрицы имеют большие размеры, вычисления с помощью матриц смежности неудобны и страдают отсутствием наглядности. Если сеть содержит узлов, то её матрица смежности состоит из чисел, что значительно затрудняет и увеличивает время работы различных стандартных алгоритмов анализа сетей (в особенности, алгоритмов переборного характера, например таких, как алгоритм поиска гамильтонова цикла или маршрута коммивояжера). Уже при , матрица смежности содержит элементов и алгоритм полного перебора на такой матрице будет работать и получать результат за время порядка тактов, что при современном состоянии компьютерной техники составляет триллионы лет – с практической точки зрения, время работы такого алгоритма бесконечно и совершенно неприемлемо.

Избыточность метода представления сетей матрицами смежности объясняется его универсальностью и возможностью его применения в любых ситуациях. Разумно предположить, что для случая конкретных организационных сетей (например, градуированных) существует более простой, наглядный и эффективный способ их представления, сохраняющий, тем не менее, все преимущественные и полезные свойства матричного представления сетей. Кроме того, относительно предполагаемого нового метода, разумно выдвинуть требования простоты и высокой скорости выполнения стандартных алгоритмов анализа сетей при использовании их представления по новому методу.

В работе [12] были введены группы усредненных геометрических характеристик для сетей специфического вида, являющихся орбитальными планетарными структурами. Там же была поставлена общая задача об определяемости организационных сетей по наборам их геометрических характеристик.

В настоящем разделе решаются все эти задачи. Вводятся новые и обобщаются приведенные в [12] группы геометрических характеристик для случая произвольных градуированных организационных сетей. На основании введенных геометрических характеристик, предлагается новый метод представления организационных сетей, полностью удовлетворяющий сформулированным выше требованиям к однозначности, алгоритмической простоте, наглядности и эффективности метода.

 

Степень вершин 4

Основываясь на приведенных данных экспериментов, можно заключить, что при фиксированном соотношении сторон прямоугольника с ростом его размеров значение будет приближаться к 1.

Выводы по главе 2

1. Многочисленные наработанные к настоящему времени примеры моделей сетевых структур взаимодействия, использовавшиеся ранее для представления и анализа сетевых структур, допускают естественное обобщение и систематизацию на языке общей алгебры и теории алгебраических систем. В настоящей главе приведен один из вариантов такого обобщения – многоосновные мультиоператорные сети, и детально рассмотрена проблематика, касающаяся абстрактных геометрических свойств моделей, полученных в результате предложенного обобщающего подхода.

2. Многоосновные мультиоператорные сети являются новым универсальным и практически удобным инструментом представления и моделирования реальных организационных сетевых структур. Понятие мультиоператорной сети позволяет отражать и моделировать не только внутренние параметры и характеристики сети, ее узлов и связей, но и различные внешние воздействия на моделируемые структуры, их трансформации и преобразования. Такой универсальный динамический подход к представлению и моделированию сетевых структур предлагается в научной литературе впервые.

3. На основе модельного понимания организационных сетей как многоосновных мультиоператорных сетей, выделены и систематизированы два основных класса задач прочности и устойчивости организационных сетей, к которым приводит анализ проблематики прочности и устойчивости мультиоператорных сетей с практической точки зрения. Естественную основу такой систематики дает разделение задач прочности и устойчивости по характеру разрушающих воздействия на сеть (внешние и внутренние воздействия). В рамках предложенного модельного обобщения, эти разрушающие воздействия оказывается возможным формализовать в виде действия на сеть набора сигнатурных операторов.

4. В предложенной общей постановке, задачи прочности и устойчивости мультиоператорных сетей являются новыми, актуальными и перспективными задачами как с прикладной (экономической, организационной и управленческой), так и с чисто научной (математической) точек зрения.

5. На основе общих модельных представлений организационных структур как мультиоператорных сетей, рассмотрена известная задача об определяемости организационных сетей по наборам их геометрических характеристик. Введены новые и обобщены известные ранее группы геометрических характеристик произвольных градуированных организационных сетей.

6. На основании введенных геометрических характеристик, предложен принципиально новый метод представления организационных сетей – метод кортежей. Преимущества нового метода, по сравнению с традиционным матричным представлением сетей – простота, наглядность, легкость восстановления диаграммы сети, простота выполнения стандартных алгоритмов анализа сетей, значительное сокращение объема хранимого числового массива, простота вычисления геометрических характеристик организационных сетей.

7. Приведены естественные геометрические характеристики градуированных организационных сетей, предложены их практические интерпретации и указано, какие реальные процессы в организационных структурах описываются введенными геометрическими характеристиками. Строго доказана полнота и категоричность метода кортежей, чем полностью решена известная задача об определяемости градуированных организационных сетей наборами своих геометрических характеристик.

8. Рассмотрена задача определения геометрической (топологической) прочности произвольных сетей, их устойчивости на разрыв при случайных внешних разрушающих воздействиях на сетевые связи. Эта задача напрямую относится к выделенным и классифицированным в настоящей главе типам задач прочности и устойчивости мультиоператорных сетей. Введены числовые характеристики геометрической прочности сетей, разработаны практически применимые алгоритмы их вычисления и проведены серии компьютерных экспериментов по вычислению значений показателей геометрической прочности для различных типов сетей.

9. На основании анализа проведенных численных экспериментов удалось обнаружить фундаментальные закономерности в процессах разрушения сетей при воздействии случайных внешних факторов. Это позволило сформулировать практически важный и универсальный признак геометрической прочности сетей. Сформулированный универсальный признак позволяет сделать фундаментальный практически важный вывод – при проектировании и практическом строительстве произвольных сетей, для достижения их геометрической прочности и устойчивости по отношению к разрушающим внешним воздействиям, необходимо добиваться выполнения условий регулярности сети и превосходства общей длины связей сети над численным значением её площади.

10. Сформулированный признак геометрической прочности сетей является универсальным, допускающим адаптацию и соответствующую формулировку, предназначенную к использованию в каждом конкретном случае практического построения сетевых структур. Адаптации, уточнения и переформулировки общего признака геометрической прочности сети для различных важных конкретных типов сетей, используемых в практической деятельности, представляют собой перспективные, актуальные и практически важные направления дальнейших исследований.

Литература к главе 2

 

1. Д.Филлипс, А.Гарсиа-Диас. Методы анализа сетей. М., Мир, 1984, – 496 с.

2. Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М., Наука, 1990, – 384 с.

3. Сай В.М., Сизый С.В. Математическая модель региональной планетарной структуры управления железнодорожным транспортом / Организационно-экономические проблемы транспорта в условиях реформирования: Сб. научн.тр.: Фундаментальные и прикладные исследования – транспорту: – Вып. 20 (102). – Екатеринбург: УрГУПС. – 2002. – С. 372-391.

4. Сай В.М. Планетарные структуры управления на железнодорожном транспорте: монография. – М.: ВИНИТИ РАН, 2003. – 345 с.

5. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М., Наука, 1970, – 396 с.

6. Общая алгебра. Серия «Справочная математическая библиотека». Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. – М.: Наука. 1990. – 592 с.

7. Сай В. М., Фомин В. К. Моделирование системы взаимоотношений железной дороги с хозяйствующими субъектами // Транспорт Урала. 2008. № 4 (19). С. 15–19.

8. Сай В.М., Сизый С.В. Организационные структуры как мультиоператорные сети. Задачи прочности и устойчивости. – Транспорт Урала. 2009. № 2 (21). С. 5–9. ISSN 1815–9400.

9. Сизый С.В. Модель образования и распада организационных сетей в экономико-правовом пространстве. ВИНИТИ РАН: Транспорт, наука, техника, управление. – 2010. – № 3. – С. 16–26.

10. Сизый С. В. Сетевая поддержка предприятий в градуированных организационных сетях. Вестник УрГУПС. Екатеринбург: УрГУПС, 2010. №1. С. 33–45. ISSN 2079-0392.

11. Сай В. М., Сизый С.В. Математическая модель региональной планетарной структуры управления железнодорожным транспортом. В сб. тр. Фундаментальные и прикладные исследования транспорту. МПС РФ, УрГУПС, – Екатеринбург- 2002, вып. 20 (102), – с. 372–391.

12. Сай В. М. Математическая формализация формирования корпоративных структур в экономическом пространстве. Деп. в ВИНИТИ РАН 30.01.03. – № 190. – В2003. – 18 с.

13. Сизый С. В. Траектории развития организационных сетей. Принцип наименьшего действия. ВИНИТИ РАН: Транспорт, наука, техника, управление. – 2010. – № 5. – С. 37–53.

14. Сизый С. В., Сай В. М. Геометрические характеристики организационных сетей. Мир транспорта. 2011. № 1. С. 90-102. ISSN 1992–3252.

15. Сизый С. В. Об определяемости градуированных сетей. Вестник УрГУПС. Екатеринбург: УрГУПС, 2010. № 3(7). С. 28–41. ISSN 2079-0392.

16. Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория моделей. М., Мир, 1977. – 614 С.

17. П. Дюндар, А. Айтак, В. Айтак, Вычисление индекса доступности и окрестной целостности графа, Математические заметки, том 78, выпуск 5, 2005, стр. 676-686.

18. Alpay Kırlangı, Graph operations and neighbor-integrity, Mathematica Bohemica, Vol. 129 (2004), No. 3, 245–254.

19. Bagga, K. S.; Beineke, L.W.; Lipman, M. J.; Pippert, R. E.: Edge-integrity: a survey, Discrete Math. 124 (1994), 3–12.

20. Попков В. К, Математические модели связности / Отв. Ред. А. С. Алексеев. – 2-е изд., испр. и доп. – Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2006. – 490 с.

21. Broadbent S.R., Hammersley J.M., Percolation processes, I and II, Proc. Cambridge Philos. Soc., 53 (1957), 629-645.

22. Кестен Х. Теория просачивания для математиков, М.:Мир, 1986.

23. Воробьев В.А., Лаходынова Л.В. О гипотезе замены задачи узлов теории просачивания задачей связей, Автометрия, том 42, №3, 2006, стр 76–85.

 

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СЕТЕЙ

 

Примеры моделей сетевых структур взаимодействия, рассмотренные в предыдущей главе, а так же многочисленные им подобные сетевые модели, использовавшиеся ранее для представления и анализа сетевых структур, допускают естественное обобщение и систематизацию на языке общей алгебры и теории алгебраических систем [5,6]. В настоящей главе рассматривается один из вариантов такого обобщения – мультиоператорные сети [8], и детально изучаются абстрактные геометрические свойства моделей, полученных в результате предложенного обобщающего подхода.