Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-08-11 | 202 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Рассмотрим линейное однородное уравнение
где р и q — вещественные числа. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка, как следует из теоремы 10.1, может иметь множество решений. Однако среди них выделяют базисные решения, по которым строится общее решение уравнения. Таких решений для уравнения второго порядка — два, каков и порядок уравнения.
Определение 3. Решения у 1 (х) и у 2 (х) уравнения (10.9) называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю:
лишь в том случае, когда С 1 = C 2 = 0.
В том случае, когда можно найти такие числа С 1 и С 2, не равные нулю одновременно, что для функций у 1 (х) и у 2 (х) на некотором интервале (a, b) выполняется равенство (10.10) для любого х (а, b), эти функции называются линейно зависимыми на интервале (а, b). Линейная зависимость функций означает их пропорциональность, например, у 1 (х)/у 2 (х) = —С 2 /С 1, при у 2 (х) ≠ 0 и С 1 ≠ 0.
ТЕОРЕМА 2. Пусть решения у1(х) и у2(х) уравнения (10.9) линейно независимы на интервале (а, b). Тогда функция
где С1 и С2 — произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения (10.9).
Эта теорема, по сути дела, выражает метод нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка: нужно отыскать два линейно независимых решения и взять их линейную комбинацию вида (10.11).
Будем искать решение уравнения (10.9) в виде у = еkx, где k — некоторое число. Подставляя эту функцию в уравнение (10.9), получаем
Сокращая обе части этого равенства на еkx, получаем квадратное уравнение относительно k
Стало быть, если число k является корнем уравнения (10.12), то функция у = еkx есть решение однородного уравнения (10.9). Уравнение (10.10) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (10.9).
Вид общего решения уравнения (10.9) существенно зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (10.10). Обозначим эти корни через k 1 и k 2. Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3. А) Если корни характеристического уравнения вещественные и k1 ≠ k2, то общее решение однородного дифференциального уравнения (10.9) имеет вид
Б) если корни уравнения (10.12) вещественные и равные между собой (k1 = k2 = k), то общее решение уравнения (10.9) имеет вид
В) если корни характеристического уравнения комплексные (k1 = а + bi, k2 = а — bi, где i = , a и b — вещественные числа), то общее решение уравнения (10.9) имеетвид
где а = -р/2, b = . Во всех трех случаях С1 и С2 — произвольные постоянные.
Заметим, что когда дискриминант характеристического уравнения (10.12) отрицательный, корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами представляют собой комплексно-сопряженные числа; в случае В использована их алгебраическая форма.
Рассмотрим примеры отыскания общих решений однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид
Его корни вещественные и различны: k 1 = 1, k 2 = 4. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Оно имеет кратный корень k =3; следовательно, общее решение данного однородного уравнения имеет вид
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение
имеет дискриминант, равный —1, и, значит, комплексно-сопряженные корни таковы: k 1 = 1 + i, k 2 = 1 — i, где i = — мнимая единица. Следовательно, общее решение данного уравнения дается формулой
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!