История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-07-01 | 681 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Тригонометрическая система. Ее ортогональность и замкнутость
Пусть одномерный тор, можно считать 2 p -периодической, если продолжить ее на всю прямую равенством
одномерный тор
Пусть интегрируемая по Риману функция на Т.
Тригонометрическая система имеет вид
Теорема. Тригонометрическая система ортогональна на Т.
Доказательство проведём в три этапа.
1)
2)
3) Найдём скалярные квадраты:
Доказано.
Теорема. Тригонометрическая система является замкнутой в пространстве
Доказательство. Полиномы порядка n по тригонометрической системе обычно записывают следующим образом: Размерность подпространства тригонометрических полиномов порядка n равна Доказательство теоремы будет осуществлено в несколько этапов с помощью метода промежуточного приближения.
Пусть
1) Любую интегрируемую функцию можно в среднеквадратичном приблизить кусочно-постоянной функцией. Пусть
Т.к. выполнены неравенства
Итак, существует кусочно-постоянная функция .
2) Любую кусочно-постоянную функцию можно в среднеквадратичном приблизить непрерывной 2 p -периодической функцией.
Пусть
3) Любую непрерывную 2 p- периодическую функцию можно приблизить тригонометрическим полиномом равномерно. Это есть
Теорема Вейерштрасса.
Из связи между среднеквадратичной и равномерной нормы вытекает, что этот полином близок к непрерывной функции и в среднеквадратичном:
4) Подведём итоги: любую интегрируемую функцию можно приблизить в среднеквадратичном тригонометрическим полиномом:
2. Тригонометрические ряды Фурье интегрируемых функций
Тригонометрический ряд Фурье обычно записывают следующим образом:
|
где коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:
В случае чётной и нечётной функций запись ряда Фурье можно упростить:
Выпишем тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье для функции с периодом
3. Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном. Равенство Парсеваля
Из теоремы о замкнутости тригонометрической системы вытекают
Следствие 1. Тригонометрическая система является базисом в пространстве
в среднеквадратичном:
Следствие 2. справедливо равенство Парсеваля
Следствие 3. и для величины наилучшего среднеквадратичного приближения: справедливо равенство
Задача. Сформулировать следствия 1-3 для периодических функций с периодом l.
Пример 1. Написать ряд Фурье для функции
Т.к. разложение в тригонометрический ряд Фурье единственно и наша функция уже является тригонометрическим рядом, то данный ряд и есть ее разложение в ряд Фурье.
Пример 2. Написать ряд Фурье для функции
ЛЕКЦИЯ 14
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!