Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-06-29 | 637 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Стандартные распределение случайных величин, их свойства, характеристики и области применения
Экспоненциальное (показательное) распределение
Показательное распределение играет исключительную роль в теории надежности и в практике расчетов. Отметим сейчас, что во многих случаях промежуток времени между двумя последовательными отказами сложной системы подчиняется как раз показательному распределению.
Широкое использование данного закона в теории надежности объясняется тем, что экспоненциальный закон, физически очень естественный, прост и удобен для использования. Почти все задачи, возникающие в теории надежности для экспоненциальных законов распределения, оказываются на порядок проще, чем для произвольных законов. Почти все формулы в теории надежности в случае экспоненциального закона резко упрощаются.
Экспоненциальным законом распределения можно аппроксимировать время безотказной работы большого числа элементов. В первую очередь это относится к элементам радиоэлектронной аппаратуры, а также к машинам, эксплуатируемым в период после окончания приработки и до существенного проявления постепенных отказов. Экспоненциальное распределение применяется в областях, связанных с «временем жизни»: в медицине продолжительность жизни больных, в надежности – продолжительность безотказной работы устройства, в психологии – время, затраченное на выполнение тестовых задач. Оно используется в задачах массового обслуживания, в которых речь идет об интервалах времени между телефонными звонками, или между моментами поступления техники в ремонтную мастерскую, или между моментами обращения клиентов.
Экспоненциальное распределение выделяется среди других распределений свойством «отсутствия памяти». Пусть - время службы некоторого изделия с экспоненциальным законом распределения. «Отсутствие памяти» означает, что изделие, проработавшее время , имеет такое же распределение, что и новое, только что начавшее работу. Математически это свойство выражается в виде следующего неравенства:
Для любых . Данное свойство как бы исключает износ и старение изделия.
Плотность вероятности:
Параметр распределения:
.
Функция распределения:
Вероятность безотказной работы:
Интенсивность отказов:
.
Соотношения между моментами и параметром распределения :
Среднее время наработки до отказа:
.
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение:
;
.
Коэффициенты асимметрии и эксцесса:
где
.
Медиана:
.
Коэффициент вариации:
.
Гамма-распределение
Гамма-распределение довольно часто встречается в приложениях теории вероятностей, особенно в математической статистике.
Этим типом распределения удобно приближать те законы надежности, у которых плотность распределения отказов имеет одновершинный несимметричный вид.
Плотность вероятности наработки до отказа:
— параметр масштаба , — параметр формы , — гамма-функция или эйлеров интеграл второго рода или
.
Аналитического выражения для функции распределения наработки на отказ не существует (аналитическое выражения для нее существует только для целых положительных значений параметра ; см. ниже распределение Эрланга).
Известны формулы связи моментов с параметрами и гамма-распределения:
; ; ; ; .
Коэффициент вариации:
.
Мода:
для значений . Квантиль находится из уравнения для
Точка перегиба:
Начальные моменты:
Параметр , характеризующий асимметрию гамма-распределения, определяет вид характеристик надежности. При интенсивность отказа возрастает, при убывает, а при становится постоянной, т.е. гамма-распределение превращается в экспоненциальное.
Распределение Эрланга
Плотность распределения наработки до отказа:
для ; ; — целое.
Функция распределения времени наработки до отказа:
Вероятность безотказной работы:
.
Интенсивность отказов системы в целом:
Соотношения между моментами и параметрами распределения определяются, как и у гамма-распределения, но с заменой параметра на .
Распределение Эрланга порядка k описывает распределение случайной величины как суммы k штук независимых случайных величин, каждая из которых распределена по показательному (экспоненциальному) закону с параметром .
Распределению Эрланга удовлетворяет время наработки до отказа резервированной системы с включением «холодного» резерва по способу замещения при условии, что наработка до отказа включенного элемента подчинена экспоненциальному закону. При этом , где m — число резервных элементов. Из соотношения вытекает свойство структур с «холодным» резервом – средняя наработка системы до отказа линейно возрастает от числа резервных элементов.
Распределение Релея
Распределение Релея вытекает из распределения Вейбулла-Гнеденко при .
Плотность вероятности наработки до отказа:
,
где ; .
Введя переобозначения , плотность вероятности можно представить в виде
.
Если принять , то , и принимает вид .
Функция распределения времени наработки до отказа:
.
Вероятность безотказной работы:
.
Интенсивность отказов:
Соотношения между моментами и параметрами распределения:
Среднее время наработки до отказа T:
.
Дисперсия D:
.
Коэффициент асимметрии Sk:
.
Коэффициент островершинности Ex:
.
Коэффициент вариации ν:
.
Мода:
.
Медиана:
Нормальное распределение
Нормальный закон – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.
Плотность вероятности наработки до отказа:
,
где ;
- параметр положения (математическое ожидание);
- параметр масштаба (стандартное отклонение);
Функция распределения времени наработки до отказа:
, где - функция Лапласа.
Соотношения между моментами и параметрами распределения:
Среднее время наработки до отказа T:
;
Дисперсия D:
;
Коэффициент асимметрии Sk:
;
Коэффициент островершинности Ex:
;
Мода:
;
Медиана:
;
Начальные моменты:
Центральные моменты:
Точки перегиба функции плотности распределения :
;
Согласно закону больших чисел, распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие примерно равнозначные факторы. Нормальному распределению подчиняются ошибки измерения деталей, дальность полета снарядов и т.п. При большом времени работы элемента и наличии восстановления среднее число отказов имеет асимптотически нормальное распределение.
Стандартные распределение случайных величин, их свойства, характеристики и области применения
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!