История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-06-29 | 233 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Формула Ньютона-Лейбница.
Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница:
Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и - какая-либо ее первообразная на [a;b], то имеет место формула
.
Пример. Вычислить
Интегрирование методом замены переменной.
Если для вычисления интеграла от непрерывной функции делается подстановка , которая удовлетворяет следующим условия:
а) функция и ее производная - непрерывны при
б) множеством значений функции при является отрезок [a,b];
в) , то имеет место формула
.
Заметим, что
1) при вычислении определенного интеграла методом замены переменной возврат к старой переменной необязателен, но при этом необходимо поменять пределы интегрирования на новые;
2) иногда удобно вместо подстановки применить подстановку , как, например, в случае универсальной тригонометрической подстановки.
Примеры. 1.
2.
Интегрирование по частям.
Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то имеет место формула
.
Примеры. 1. .
2. .
ЗАДАЧИ
1.1 а) б) в)
1.2 а) б) в)
1.3 а) б) в)
1.4 а) б) в)
1.5 а) б) в)
1.6 а) б) в)
1.7 а) б) в)
1.8 а) б) в)
1.9 а) б) в)
1.10 а) б) в)
1.11 а) б) в)
1.12 а) б) в)
1.13 а) б) в)
1.14 а) б) в)
1.15 а) б) в)
1.16 а) б) в)
1.17 а) б) в)
1.18 а) б) в)
1.19 а) б) в)
1.20 а) б) в)
Геометрический и физический смысл
Определенного интеграла.
1) Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная неотрицательная функция . Рассмотрим фигуру, образованную параллельными прямыми и , осью OX и графиком кривой . Такая фигура называется криволинейной трапецией.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и , осью OX и графиком неотрицательной функции , численно равна определенному интегралу от этой функции.
|
2) Пусть материальная точка М перемещается под действием силы , направленной вдоль оси ОХ, причем величина этой силы описывается функцией , где x – абсцисса точки М.
Тогда работа A переменной силы по перемещению материальной точки М вдоль оси ОХ из точки в точку равна определенному интегралу от величины этой силы, взятому по отрезку [a,b].
.
Кроме указанной задачи в физике с помощью определенных интегралов решают задачи о массе М стержня с переменной плотностью , имеющей начало и конец , и о пути S, пройденном материальной точкой за промежуток времени со скоростью , т.е.
.
Пример 1. Скорость тела задается формулой . Найти путь, пройденный телом за первые 8 с. после начала движения.
Опираясь на физический смысл определенного интеграла, имеем
.
Пример 2. Найти работу, затрачиваемую на растяжение пружины на 10 см, если известно, что сила 100Н растягивает пружину на 0,01 м?
Для решения задачи воспользуемся законом Гука, согласно которому , где k – коэффициент пропорциональности. Найдем этот коэффициент, используя условия задачи. Так как 100Н= , то , следовательно, переменная сила будет описываться формулой . Далее, необходимо все начальные данные перевести в единую систему измерения, например в метры, тогда требование задачи сводится к тому, что пружину необходимо растянуть на 0,1 м. Используя формулу для вычисления работы, получим
Дж.
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!