Формирование логических структур

Логическим элементом называется электрическая схема, выполняющая какую-либо логическую операцию (операции) над входными данными, заданными в виде уровней напряжения, и возвращающая результат операции в виде выходного уровня напряжения. Так как операнды логических операций задаются в двоичной системе счисления, то логический элемент воспринимает входные данные в виде высокого и низкого уровней напряжения на своих входах. Соответственно, высокий уровень напряжения (напряжение логической 1) символизирует истинное значение операнда, а низкий (напряжение логического 0) – ложное. Значения высокого и низкого уровней напряжения определяются электрическими параметрами схемы логического элемента и одинаковы как для входных, так и для выходных сигналов. Обычно логические элементы собираются как отдельная интегральная микросхема. К числу логических операций, выполняемых логическими элементами, относятся конъюнкция (логическое умножение, И), дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ), отрицание (НЕ) и сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ). Рассмотрим основные типы логических элементов.

Математической основой цифровой электроники и вычислительной техники является алгебра логики или булева алгебра (по имени английского математика Джона Буля).

В булевой алгебре независимые переменные или аргументы (X) принимают только два значения: 0 или 1. Зависимые переменные или функции (Y) также могут принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Функция алгебры логики (ФАЛ) представляется в виде:

Y = F (X1; X2; X3... XN).

Данная форма задания ФАЛ называется алгебраической.

Основными логическими функциями являются:

1. логическое отрицание (инверсия)

Y = ;

2. логическое сложение (дизьюнкция)

Y = X1 + X2 или Y = X1 V X2;

3. логическое умножение (коньюнкция)

Y = X1 × X2 или Y = X1 L X2 или Y = X1 & X2.

 

К более сложным функциям алгебры логики относятся:

1. функция равнозначности (эквивалентности)

или ;

2. функция неравнозначности (сложение по модулю два)

или ;

3. функция Пирса (логическое сложение с отрицанием)

;

4. функция Шеффера (логическое умножение с отрицанием)

;

Для булевой алгебры справедливы следующие законы и правила:

- распределительный закон

;

- правило повторения

;

- правило отрицания

;

- теорема де Моргана

;

- тождества

.

Схемы, реализующие логические функции, называются логическими элементами. Основные логические элементы имеют, как правило, один выход (Y) и несколько входов, число которых равно числу аргументов (X1;X2;X3... XN). На электрических схемах логические элементы обозначаются в виде прямоугольников с выводами для входных (слева) и выходных (справа) переменных. Внутри прямоугольника изображается символ, указывающий функциональное назначение элемента.

На рис. 2.1 - 2.10 представлены логические элементы, реализующие рассмотренные ранее функции. Там же представлены так называемые таблицы состояний или таблицы истинности, описывающие соответствующие логические функции в двоичном коде в виде состояний входных и выходных переменных. Таблица истинности является также табличным способом задания ФАЛ.

Рис. 2.1. Логическое отрицание

Рис. 2.2. Элемент “ИЛИ” – функция логического сложения

Рисунок 2.3. элемент “И” – функция логического умножения

Рис. 2.4. Элемент “ИЛИ-НЕ” – функция Пирса

Рис. 2.5. Элемент “И-НЕ” – функции Шеффера

Элемент Пирса можно представить в виде последовательного соединения элемента “ИЛИ” и элемента “НЕ” (рис. 2.6), а элемент Шеффера – в виде последовательного соединения элемента “И” и элемента “НЕ” (рис. 2.7).

Рис. 2.6. Элемент Пирса

Рис. 2.7. Элемент Шеффера

Рис. 2.8. Элемент “Исключающее ИЛИ” – функция неравнозначности

 

Рис. 2.9. Элемент “Исключающее ИЛИ - НЕ”, – функция неравнозначности с отрицанием

Логические элементы, реализующие операции конъюнкции, дизъюнкции, функции Пирса и Шеффера, могут быть, в общем случае, n - входовые. Так, например, логический элемент с тремя входами, реализующий функцию Пирса, имеет вид, представленный на рис. 10.

Рис. 2.10. Логический элемент с тремя входами, реализующий функцию Пирса

В таблице истинности (рис. 10) имеется восемь значений выходной переменной Y. Это количество определяется числом возможных комбинаций входных переменных N, которое, в общем случае, равно: N = 2 n, где n – число входных переменных.

Логические элементы используются для построения интегральных микросхем, выполняющих различные логические и арифметические операции и имеющих различное функциональное назначение. Микросхемы типа К155ЛН1 и К155ЛА3, например, имеют в своем составе шесть инверторов и четыре элемента Шеффера соответственно (рис. 2.11), а микросхема К155ЛР1 содержит элементы разного вида (рис. 2.12).

Рис. 2.11. Микросхемы типа К155ЛН1 и К155ЛА3

Рис. 2.12. Микросхема К155ЛР1

Таблица 1

Основные логические операции

Обозначение операции	Читается	Название операции	Альтернативные обозначения
	НЕ	Отрицание (инверсия)	Черта сверху
	И	Конъюнкция (логическое умножение)	&
	ИЛИ	Дизъюнкция (логическое сложение)	+
→	Если … то	Импликация
↔	Тогда и только тогда	Эквиваленция	~
XOR	Либо …либо	Исключающее ИЛИ (сложение по модулю 2)

ФАЛ любой сложности можно реализовать с помощью указанных логических элементов. В качестве примера рассмотрим ФАЛ, заданную в алгебраической форме, в виде:

. (1)

Упростим данную ФАЛ, используя вышеприведенные правила. Получим:

(2)

Проведенная операция носит название минимизации ФАЛ и служит для облегчения процедуры построения функциональной схемы соответствующего цифрового устройства.

Функциональная схема устройства, реализующая рассматриваемую ФАЛ, представлена на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Функциональная схема устройства, реализующая ФАЛ

Следует отметить, что полученная после преобразований функция (2) не является полностью минимизированной. Полная минимизация функции проводится в процессе выполнения лабораторной работы.

Элемент И

Логический элемент «И» выполняет операцию логического умножения (конъюнкция) над своими входными данными и имеет от 2 до 8 входов и один выход (как правило, выпускаются элементы с двумя, тремя, четырьмя и восемью входами). На рис. 2.14. изображены условные графические обозначения (УГО) логических элементов И с двумя, тремя и четырьмя входами соответственно. Элементы И обозначаются как NИ, где N – количество входов логического элемента (например, 2И, 3И, 8И и т.д.).

Рис. 2.14. Условные графические обозначения логических элементов И с двумя, тремя и четырьмя входами

Элемент ИЛИ

Логический элемент ИЛИ выполняет операцию логического сложения (дизъюнкция) над своими входными данными и, также как и логический элемент И, имеет от 2 до 8 входов и один выход. На рис. 2.15. изображены УГО логических элементов ИЛИ с двумя, тремя и четырьмя входами соответственно. Элементы ИЛИ обозначаются также, как и элементы И (2ИЛИ, 4ИЛИ и т.д.).

Рис. 2.15. Условные графические обозначения логических элементов ИЛИ с двумя, тремя и четырьмя входами

Элемент НЕ (инвертор)

Логический элемент НЕ выполняет операцию логического отрицания над своими входными данными и имеет один вход и один выход. Иногда его называют инвертор, так как он инвертирует входной сигнал. На рис. 2.16 изображено УГО элемента НЕ.

Рис. 2.16. Условные графические обозначения логического элемента НЕ

Элемент И-НЕ

Логический элемент И-НЕ выполняет операцию логического умножения над своими входными данными, а затем инвертирует (отрицает) полученный результат и выдаёт его на выход. Таким образом, можно сказать, что логический элемент И-НЕ – это элемент И с инвертором на выходе. УГО элемента 3И-НЕ приведено на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Условные графические обозначения логического элемента 3И-НЕ

Элемент ИЛИ-НЕ

Логический элемент ИЛИ-НЕ выполняет операцию логического сложения над своими входными данными, а затем инвертирует (отрицает) полученный результат и выдаёт его на выход. Таким образом, можно сказать, что логический элемент ИЛИ-НЕ - это элемент ИЛИ с инвертором на выходе. УГО элемента 3ИЛИ-НЕ приведено на рис. 2.18.

Рис. 2.18. Условные графические обозначения логического элемента 3ИЛИ-НЕ