Многомерная центральная предельная теорема.

Пусть — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных векторов, каждый из которых имеет среднее и невырожденную матрицу ковариаций . Обозначим через вектор частичных сумм.

Тогда при имеет место слабая сходимость распределений векторов

, где имеет распределение .В условиях многомерной ЦПТ распределение любых непрерывных функций слабо сходится к распределению . В качестве нам будет нужна только .

Следствие 5.

В условиях многомерной ЦПТ имеет место сходимость .

42 корреляция

Среднеквадратичным отклонением (англ. standart deviation) называется величина, равная квадратному корню из дисперсии случайной величины

Пусть — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда корреляцией случайных величин (англ. correlation) и называется выражение следующего вида:

, где — ковариация случайных величин.

Заметим, что — среднеквадратичное отклонение.

Значительная корреляция между случайными величинами всегда означает, что присутствует некая взаимосвязь между значениями конкретной выборки, но при другой выборке связь вполне может отсутствовать. Поэтому при нахождении взаимосвязи не нужно делать поспешных выводов о причинно-следственном характере величин, а следует рассмотреть наиболее полную выборку, чтобы делать какие-либо выводы. Коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи, но не более того.

Если , то и линейно зависимы.

Если независимые случайные величины, то .

Пусть и — независимые величины. Тогда , где — их математическое ожидание. Получаем: Но обратное неверно: Пусть — случайная величина, распределенная симметрично около , а . , но и — зависимые величины.

43.

44. Генеральная и выборочная совокупности

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, то есть обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Различают генеральную и выборочную совокупности:

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности , а объем выборки .[1]

Замечание. Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако, если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений, или для облегчения теоретических выводом, допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки. [3]