Лекция 4. Типовые звенья сар

ЛЕКЦИЯ 4. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ САР

Функциональные элементы, используемые в автоматических системах,

могут иметь самые различные конструктивные исполнения и принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих входные и выходные величины различных функциональных элементов, позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых динамических звеньев. Ка-ждому типовому звену соответствует определённое математическое соотношение между входной и выходной величиной. Если это соотношение является элементарным, например, умножение, дифференцирование или интегрирова-ние, то и звено называется элементарным.

Звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, называются типовыми динамическими звеньями. Такие звенья являются основными составными частями алгоритмических структур непрерывных систем управления, поэтому знание их характеристик облегчает аналих таких систем.

 

Безинерционное звено

Это звено является простейшим и передает сигнал со входа на выход мгновенно, не изменяя его форму. Звено может только или усиливать или ослаблять значение входной величины. Зависимость между выходной х_вых и входной х_вх величиной описывается алгебраическим уравнением

х_вых(t) = к х_вх(t)

Свойства звена определяются только одним параметром – передаточным коэф-фициентом к.

При единичном ступенчатом воздйствии х_вх(t) = 1(t), приложенным в момент времени t = 0, выходная величина изменяется мгновенно и принимает значение к (рис.3.1). Переходная функция звена имеет вид

h (t) = к 1(t),

а импульсная переходная функция

w (t) = к δ (t).

Уравнение звена в операционной форме

Х_вых (р) = к Х_вх (р),

а передаточная функция

X_вых(р)

W(p) = = к.

Х_вх(р)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена описывается функцией

W (jω) = к,

которой на комплексной плоскости соответствует одна точка на действительной оси (рис. 4.1). Амплитудная частотная характеристика А(ω) = к представ-

ляет прямую линию, параллельную оси частот. Это означает, что сигналы лю-

h(t) A(w) k L(w) 20 lg k

 

t w lgw

w(t) j(w) jQ(w)

 

kd(t)

 

t w P(w)

Рис. 4.1

 

бой частоты проходят через безинерционное звено с одинаковым отношением амплитуд выходного и входного сигналов, равным к.

Выражение для фазовой частотной характеристики

φ (ω) = arg W(jω) = arctg (0/к) = 0

показывает, что безинерционное звено не создает фазовых сдвигов между входной и выходной величинами.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика безинерционного звена

L(ω) = 20lg A (ω) = 20 lg к

также, как и его амплитудная частотная характеристика, является прямой линией, параллельной оси абсцисс.

Примером безинерционного звена может служить операционный усилитель, работающий в режиме масштабного усиления.

 

Интегрирующее звено

Интегрирующие звенья подразделяются на идеальные и реальные. Об-щим свойством этих звеньев является пропорциональность производной от выходной величины мгновенному значению входной величины. У реального интегрирующего звена пропорциогнальность устанавливается после завершения переходного процесса в звене.

Идеальному интегрирующему звену соответствует уравнение

dx_вых /dt = к х_вх.

Данному уравнению соответствует интегральное уравнение

¥

х _вых = к ò х_вх dt + х_вых (0),

из которого видно, что звено интегрирует входной сигнал.

Полагая х_вх = 1(t), получаем переходную функцию

h(t) = к t 1(t).

Импульсная переходная функция идеального интегрирующего звена

w(t) = к 1(t).

Передаточная функция идеального интегрирующего звена

W(p) = к / p.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена

W(jw) = к /jw = - j к/w

на комплексной плоскости (рис.4.5) представляет собой прямую, совпадающую с мнимой осью.

 

 

Рис. 4.5

Амплитудная частотная характеристика

А(w) = W(jw) = к /w

является гиперболой, стремящейся к бесконечности при w ® 0.

Фазовая частотная характеристика идеального интегрирующего звена

j(w) = arctg (- к/w /0) = -90 ⁰

свидетельствует, что фазовый сдвиг не зависит от частоты.

ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном – 20 дБ/декаду и про-ходит через точки w = 1, L(w) = 20 lg к:

L(w) = 20 lg A(w) = 20 lg к – 20 lg w.

Дифференциальное уравнение реального интегрирующего звена

d²x_вых dx_вых

T + = кх_вх,

dt² dt

а передаточная функция

к

W(p) =.

р (Тр + 1)

Звено с такой передаточной функцией можно рассматривать как последовательное соединение идеального интегрирующего звена и статического инерционного звена первого порядка с постоянной времени Т и коэффициентом передачи к.

Дифференцирующее звено

Дифференцирующие звенья подразделяются на идеальные (безинерционные) и реальные (инерционные). Значение выходной величины идеального дифференцирующего звена в каждый момент времени пропорционально мгновенному значению первой производной от входной величины:

dх_вх

Х_вых = к.

dt

Переходная функция h(t) определяется дифференцированием единичной ступенчатой функции 1(t)

h(t) = к d(t).

Импульсная переходная функция

w(t) = к dd(t)/dt.

Передаточная функция звена

W(t) = к р.

АФЧХ совпадает с положительной мнимой осью и описывается выражением

W(jw) = к jw.

Амплитудно-частотная характеристика

А(w) = к w

показывает, что амплитуда выходного сигнала возрастает пропорционально частоте входного сигнала.

Фазовый сдвиг на всех частотах одинаков и равен

j(w) = arctg (кw /0) = 90⁰.

ЛАЧХ звена

L(w) = 20lg(кw)

представляет собой прямую линию с наклоном +20дБ/декаду, проходящую через точку с координатами w = 1/к, L(w) = 0.

Реальное дифференцирующее звено можно рассматривать как последовательное соединение идеального дифференцирующего звена и инерционного звена первого порядка. Передаточная функция такого звена

W(p) = кр / (Тр + 1).

Временные и частотные характеристики звеньев представлены на рис.4.6.

Рис. 4.6

 

Звено запаздывания

Звеном запаздывания называется звено, передающее сигнал со входа на выход без искажения его формы, но с некоторой задержкой t во времени. Наиболее распространнёным в практике автоматических систем является транспортное запаздывание, обусловленное пространственным перемещением элементов, передающих информацию (например, транспортерная лента, полоса прокотываемого металла). К статическим устройствам запаздывания можно отнести различного рода линии задержки электронного или параметрического типа.

В некоторых случаях звено запаздывания вводится при рачёте системы условно. Для ряда объектов уравнение динамики неизвестно, поэтому кривую переходного процесса реального объекта при единичном входном воздействии аппроксимируют экспонентой и эквивалентным запаздыванием.

Уравнение звена запаздывания

х_вых (t) = x_вх (t - t)

не является дифференциальным и относится к классу особых уравнений со смещённым аргументом. Характеристики звена представлены на рис. 4.7.

h(t) A(w) L(w)

 

t t w lgw

j(w) p / 2 t w jQ(w)

w(t)

1

d(t -t) - p/2

P(w)

w = 2pn / t

Рис. 4.7

 

Подстановкой в уравнение звена значения входной величины 1(t) получаем его переходную функцию:

h(t) = 1(t -t),

а подстановкой х_вх(t) = d(t) - импульсную

w(t) = d(t - t).

На основании теоремы запаздывания запишем исходное уравнение в изображении по Лапласу

Х_вых(р) = Х_вх(р) ехр(-tр)

и определим передаточную функцию как

W(p) = Х_вых(р) /Х_вх(р) = ехр(-tр).

АФЧХ звена

W(jw) = ехр(-jwt) = cos wt - j sin wt

является окружностью единичного радиуса с центром в начале координат.

Амплитудная и фазовая частотная характеристики определяются выражениями

j(w) = arctg (-sin wt /cos wt) = - wt;

A(w) = sqrt (cos² wt + sin² wt) = 1.

Звенья запаздывания ухудшают устойчивость системы и делают их трудно управляемыми.

Звено запаздывания определяет трансцендентный характер характеристического уравнения системы. Для приведения характеристического уравнения к алгебраческой форме трансцендентную передаточную функцию звена раскладывают в ряд Паде и приближённо заменяют ёе двумя или тремя членами ряда:

1 – 0,5 t

W(p) = exp(-tp) @;

1 + 0,5t

 

1 – 0,5 t + 0,83 t² p²

W(p) @

1 + 0,5t + 0,83 t² p²

 

Форсирующее идеальное звено

Имеет передаточную функцию

W(p) = k (tp + 1).

 

Изодромное звено

Имеет передаточную функцию

k (tp + 1)

W(p) =.

p

Систем управления

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логари- фмическом масштабе. Это означает, что наносят отметки, соответствующие lgω, а возле отметок указывают как логарифм частоты, так и значение частоты ω.

Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в 10 раз, на-зывается декадой, а отрезок, соответствующий изменению частоты в 2 раза – октавой.

По оси ординат ЛАЧХ откладывают при равномерном масштабе лога- рифмическую амплитуду

L(ω) = 20 lg A(ω), дБ.

Константа 20 появляется по следующим причинам: отношение мощно- стей сигналов пропорционально отношению квадратов амплитуд сигналов, следовательно, появляется перед логарифмом цифра 2, единица ослабления Бел крупная и применяют её десятую часть, децибел, следовательно, ещё 10, итого 20.

Нуль логарифмической амплитуды соответствует А = 1.

Нуль оси абсцисс лежит слева в бесконечности, так как lg 0 = - ∞, поэ- тому ось ординат может пересекать ось абсцисс в любой точке. Эту точку выбирают так, чтобы график охватывал нужный диапазон частот.

У ЛФЧХ такая же ось абсцисс, а по оси ординат в равномерном масштабе откладывают фазу φ в градусах (или радианах). Её обычно строят под ЛАЧХ с тем, чтобы изменение фазы можно было сопоставить с изменением амплитуды. Оси абсцисс ЛАЧХ и ЛФЧХ совмещают.

Логарифмические частотные характеристики удобны тем, что небольшим графиком может быть охвачен широкий диапазон частот. При этом одинаково наглядно изменение частотных свойств как на малых, так и на больших частотах, небольшим графиком охватывается и широкий диапазон изменения амплитуд. Кроме того, оказывается, что значительные участки ЛАЧХ с большой точностью могут быть заменены прямыми линиями – асимтотами. Они имеют отрицательный и положительный наклон, кратный 20 дБ на декаду, т. е. 0, ±20, ±40, ±60 и т.д.

В ряде случаев оказывается возможным пренебречь кривизной ЛАЧХ на отдельных небольших участках частот. Тогда ЛАЧХ изображается отрезками прямых (асимтотами) и называется асимтотической. Для её построения нужны лишь весьма простые вычисления, т.к. операция умножения (последовательное соединение звеньев) заменяется на операцию сложения.

Рассмотрим логарифмические частотные характеристики типовых звеньев системы управления.

Для пропорционального звена А(w) = к. В этом случае L(ω) = 20 lg к есть постоянная величина и ЛАЧХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 4.13).

Для интегрирующего звена А(w) = к /w. В этом случае L(ω) =

= 20 lg A(ω) = 20 lg k – 20lgw. При w = 1 L(1) = 20 lg к и на протяжении одной декады уме- ньшается на 20 дБ. ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном –20 дБ/дек, проходящую через точку В с координатами [1, 20lgk] (рис. 4.8).

Для дифференцирующего звена А(w) = кw. В этом случае L(ω) =

= 20 lg A(ω) = 20 lg k + 20 lgw. Так же как и в предыдущем случае, при w = 1 имеем L (w) = 20 lg k.. Затем, с увеличением w, увеличивается и L (w) на 20 дБ/дек. ЛАЧХ есть прямая с наклоном +20 дБ/дек, проходящая через точку с координатами [1, 20 lgk] (рис. 4.13).

Логарифмические характеристики этих трёх звеньев есть прямые линии.

Для апериодического звена первого порядка А (w) = к / sqrt [1 + w²T²]. В этом случае L(w) = 20 lg k – 10 lg [1 + w²T²]. При малых частотах w²T² << 1 имеем L(w)» 20 lg k. Это низкочастотная асимтота, параллельная оси абсцисс. При больших частотах w²Т² >> 1 и L(w) = 20 lgk – 20 lgwT. Это высокочастотная асимтота, которая имеет наклон –20дБ/дек. Следовательно, асимтотическая ЛАЧХ образуется двумя асимтотами, которые сопрягаются (пересекаются) при частоте сопряжения wс = 1/T (на этой частоте удовлетворяются уравнения обе-их асимтот).

 

L(ω) L(ω) L(ω)

 

 

lgω lgω lgω

 

L(ω) L(ω) L(ω)

 

lgω lgω lgω

 

Рис. 4.8

 

ЛЕКЦИЯ 4. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ САР

Функциональные элементы, используемые в автоматических системах,

могут иметь самые различные конструктивные исполнения и принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих входные и выходные величины различных функциональных элементов, позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых динамических звеньев. Ка-ждому типовому звену соответствует определённое математическое соотношение между входной и выходной величиной. Если это соотношение является элементарным, например, умножение, дифференцирование или интегрирова-ние, то и звено называется элементарным.

Звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, называются типовыми динамическими звеньями. Такие звенья являются основными составными частями алгоритмических структур непрерывных систем управления, поэтому знание их характеристик облегчает аналих таких систем.

 

Безинерционное звено

Это звено является простейшим и передает сигнал со входа на выход мгновенно, не изменяя его форму. Звено может только или усиливать или ослаблять значение входной величины. Зависимость между выходной х_вых и входной х_вх величиной описывается алгебраическим уравнением

х_вых(t) = к х_вх(t)

Свойства звена определяются только одним параметром – передаточным коэф-фициентом к.

При единичном ступенчатом воздйствии х_вх(t) = 1(t), приложенным в момент времени t = 0, выходная величина изменяется мгновенно и принимает значение к (рис.3.1). Переходная функция звена имеет вид

h (t) = к 1(t),

а импульсная переходная функция

w (t) = к δ (t).

Уравнение звена в операционной форме

Х_вых (р) = к Х_вх (р),

а передаточная функция

X_вых(р)

W(p) = = к.

Х_вх(р)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена описывается функцией

W (jω) = к,

которой на комплексной плоскости соответствует одна точка на действительной оси (рис. 4.1). Амплитудная частотная характеристика А(ω) = к представ-

ляет прямую линию, параллельную оси частот. Это означает, что сигналы лю-

h(t) A(w) k L(w) 20 lg k

 

t w lgw

w(t) j(w) jQ(w)

 

kd(t)

 

t w P(w)

Рис. 4.1

 

бой частоты проходят через безинерционное звено с одинаковым отношением амплитуд выходного и входного сигналов, равным к.

Выражение для фазовой частотной характеристики

φ (ω) = arg W(jω) = arctg (0/к) = 0

показывает, что безинерционное звено не создает фазовых сдвигов между входной и выходной величинами.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика безинерционного звена

L(ω) = 20lg A (ω) = 20 lg к

также, как и его амплитудная частотная характеристика, является прямой линией, параллельной оси абсцисс.

Примером безинерционного звена может служить операционный усилитель, работающий в режиме масштабного усиления.