Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-06-19 | 377 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть функция определена на открытом множестве и . Рассмотрим прямую : , где . Здесь – направляющий вектор прямой (рис.1). В координатном виде уравнения кривой записать следующим образом:
…. .
|
Здесь вектор единичный вектор, проходящий через точку .
Определение 18. Производной по направлению вектора (прямой ) в точке называют предел по множеству .
(18)
Если , то совпадает с направлением оси и производная по направлению совпадает с частной производной .
Запишем (18) подробнее. Так как , , то
.
По теореме о дифференцировании сложной функции имеем
(19)
В частном случае, в пространстве , формула (19) для функции в точке по направлению , формула имеет вид
. (20)
Определение 19. Градиентом дифференцируемой в точке функции называется n – мерный вектор
. (21)
В пространстве формула (21) имеет вид:
На плоскости Oxy:
С помощью символического оператора , который называется оператором Гамильтона, градиент в R 3 также обозначают
Используя понятие градиента можно в векторной форме записать формулу полного приращения функции в точке :
,
а также дифференциал функции
,
и производную функции по направлению
, (22)
где – вектор приращений аргумента, - вектор бесконечно малых.
Свойства градиента:
1. Если вектор градиент функции тождественно равен нулю для любого , то функция постоянна на множестве Х.
2. Если и – дифференцируемые функции в , то справедливы следующие соотношения
а) ;
б) ;
в) ,
где дифференцируемая функция одной переменной .
Справедливость этих свойств следует из определения градиента и свойств векторов.
3. Производная функции по направлению вектора (рис.2) принимает наибольшее значение в направлении и равна модулю , т.е.
|
.
|
Так как , то . <
Таким образом, есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.
4. Пусть дифференцируемая функция, и
()
параметрические уравнения некоторой гладкой кривой Г, удовлетворяющие условию
. (23)
Такая кривая называется линией уровня функции .
Вектор (рис 7.3) является касательным вектором к кривой Г, а – радиусом-вектором точки М .
Продифференцируем (23) по t как сложную функцию:
,
.
|
,
т.е. скалярное произведение двух векторов рано нулю. Это означает, что в каждой точке линии уровня векторы и , т.е. вектор градиент и касательный вектор к кривой ортогональны, или вектор градиент в каждой точке ортогонален линии уровня.
Примеры. 1) Найти наибольшее значение в точке , если .
Решение. Найдем в точке М:
; .
Тогда
2) Найти производную функции в точке по направлению внешней нормали к окружности в точке .
Решение. Производная по направлению вычисляется, как скалярное произведение и вектора направления (внешняя нормаль)
Вычислим в точке М:
,
.
Вычислим вектор в точке М. Для этого в уравнении окружности определим зависимость х и у от параметра : , . Так как точка М принадлежит окружности, получаем
и .
Отсюда . .
Поскольку векторы и ортогональны, то координаты вектора нормали находятся из соотношения
.
Отсюда получаем, , . Нормируем вектор :
,
.
Производная по направлению нормали к окружности в точке М равна
.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!