Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-06-13 | 368 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если умножали бы в тригонометрической форме не два разных числа, а одно и то же число , то получилось бы:
, то есть .
Таким же образом можно умножить в третий раз и снова в аргументе прибавится , а модуль снова умножится на . Таким образом, по индукции доказывается, что
Эта формула называется формулой Муавра и позволяет не перемножать множество скобок, если требуется вычислить большую степень числа, а вычислить её по формуле.
И снова можно сказать, что ещё легче возводить в степень с помощью показательной формы числа:
Пример. Найти по формуле Муавра.
Вычислим модуль и аргумент.
.
Таким образом, соответствующая точка расположена в первой четверти на пересечении биссектрисы угла и единичной окружности.
По формуле Муавра, = = = 16.
В показательной форме: = = = 16.
Корень порядка n вычисляется по такой формуле:
Доказательство формулы корня порядка n.
Если возведём в степень n, получим
= .
Добавка после возведения в степень станет кратной , то есть точка, отстоящие на угол , просто опишет один лишний оборот вокруг начала координат, то есть в аргументу добавится 360 градусов, и придёт в ту же точку, что и без .
Пример. Найдите все значения корня .
Сначала представим комплексное число, которое находится под знаком корня, в тригонометрической форме.
Точка расположена на мнимой оси выше начала координат, поэтому аргумент , модуль .
Теперь находим все 3 корня.
при k = 0,1,2. , отсюда:
1) = =
2) = =
3) = =
Чертёж:
Если к исходному углу добавить 120 градусов, то для куба этого числа добавится 360 градусов, и результат будет точно такой же. С этим фактом как раз и связано наличие лишнего слагаемого в формуле.
Квадратных корней два, а именно . Это происходит по той же причине: если число было положительным, то его аргумент был 0, и тогда по формуле то есть
|
= = , что и соответствует при и . К аргументу прибавляется по 360 / 2 = 180 градусов.
Корни квадратные из отрицательного числа имеют вид .Там аргумент корня имеет вид , то есть 90 и 270 градусов соответственно.
Обобщённые синус и косинус комплексного числа.
и .
Рассмотрим при действительном значении , и докажем, что это на самом деле обобщения тех тригонометрических функций.
= по свойствам чётности и нечётности, получается
= = .
Для синуса, аналогично было бы
= = .
При отступлении в сторону от действительной прямой, значения косинуса и синуса могут быть и больше 1 по модулю, т.е. область значений вовсе не отрезок , например .
= > > 1.
Эти функции в комплексной плоскости являются неограниченными.
Связь с линейными однородными дифференциальными уравнениями.
Рассмотрим функцию если комплексное число.
= = .
то есть здесь действительная и мнимая часть - как раз те самые функции, которые входят в ФСР при наличии комплексных корней.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!