Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-06-12 | 363 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Плотность нормального распределения имеет вид
(3.26)
где - вектор математического ожидания случайного вектора X;
- ковариационная матрица случайного вектора X;
- определитель ковариационной матрицы.
Если раскрыть квадратичную форму в фигурных скобках выражения (3.26), то плотность нормального закона можно записать в виде
(3.27)
где - элементы матрицы, обратной по отношению к ковариационной матрице случайного вектора ; - математическое ожидание величины ;
;
- алгебраическое дополнение элемента матрицы ковариации .
В силу симметрии ковариационной матрицы , обратная ковариационная матрица также обладает свойством симметрии:
Таким образом, для описания нормального закона распределения системы п случайных величин нужно знать следующие величины:
математических ожиданий: ; элементов ковариационной матрицы (из которых дисперсий).
На главной диагонали ковариационной матрицы стоят дисперсии случайных величин.
Если нормально распределенные СВ не коррелированы, то ковариационная матрица становится диагональной:
В этом случае определитель будет равен произведению диагональных элементов:
,
а обратная ковариационная матрица также будет диагональной:
Следовательно, для нормально распределенной системы некоррелированных СВ совместная плотность имеет вид:
(3.28)
где
Как следует из (3.28 ) нормально распределенная система некоррелированных случайных величин представляет собой нормально распределенную систему независимых случайных величин, так как совместная плотность системы равна произведению плотностей отдельных величин , входящих в систему. Таким образом, для нормально распределенной системы п СВ из некоррелированности отдельных величин следует их независимость.
|
Любая подсистема случайных величин входящая в нормально распределенную систему также распределена по нормальному закону, зависящему от математических ожиданий и элементов ковариационной матрицы.
Можно определить условную плотность распределения подсистемы СВ вычисленную при условии, что остальные случайные величины входящие в систему, приняли определенные значения:
, (3.29)
где -нормальная плотность распределения системы случайных величин ,
определяемая по формуле (2.28); - нормальная плотность распределения подсистемы случайных величин . При этом закон распределения (2.29) будет тоже нормальным.
В инженерных приложениях чаще всего имеют дело с условным законом распределения случайной величины вычисленным при условии, что остальные случайные величины, входящие в систему, приняли определенные значения: . Этот условный закон будет нормальным с характеристиками
(3.30)
(3.31)
где - элемент матрицы , обратной по отношению к ковариационной матрице .
Условное математическое ожидание представляет собой линейную функцию (п —1) переменных , поэтому поверхность регрессии на представляет собой гиперплоскость в -мерном пространстве.
Условная плотность распределения СВ , при условии, что равна
(3.32)
Вероятность попадания случайной точки в n – мерный прямоугольный параллелепипед Rn со сторонами, параллельными координатным осям выражается через функцию Лапласа:
(3.33)
где — координаты границ прямоугольного параллелепипеда Rn в направлении оси — м. о. и с к о- случайной величины , Ф0 (z)—функция Лапласа.
Если нормально распределенные СВ независимы (не коррелированы) и при этом , то их плотность распределения может быть записана в виде:
(3.34)
которая называется канонической (простейшей) формой нормального закона системы п СВ Найдем уравнение -мерного гиперэллипсоида равной плотности, в который попадает случайная точка . Уравнение гиперэллипсоида можно получить из условия:
|
откуда
(3.35)
При п = 2 получаем уравнение эллипса равной плотности в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости
(3.36)
Центр этого эллипса находится в начале координат, его полуоси равны:
Найдем вероятность попадания СВ в область , ограниченную эллипсом (3.36).
Для вычисления интеграла перейдём к полярной системе координат :
Якобиан этого преобразования Тогда . При этом уравнение эллипса преобразуется в уравнение окружности радиуса . Следовательно
Лекция 4. Числовые характеристики и законы распределения функций случайных величин. Характеристические функции. Линеаризация функций случайных величин
1. Числовые характеристики функций случайных величин. Если — дискретная или непрерывная случайная величина с известным законом распределения и где — неслучайная функция, то математическое ожидание и дисперсия случайной величины в случае, если они существуют, могут быть найдены по формулам
(4.1)
Аналогичные формулы имеют место и для всех прочих начальных и центральных моментов распределения случайной величины , которая является неслучайной функцией . Таким образом, для вычисления числовых характеристик неслучайной функции случайной величины не надо знать закона распределения зависящей от X случайной величины Y, а достаточно знать закон распределения случайного аргумента X. Сформулированное правило естественно обобщается на функции от большего числа случайных переменных. Например, если , то
(4.2)
Если существуют соответствующие моменты, то справедливы следующие свойства математического ожидания и дисперсии:
- свойство линейности. (4.3)
(4.4)
где
(4.6)
Свойство 1 может быть записано в более общей форме в матричных обозначениях:
(4.7)
где X — случайный n-мерный вектор-столбец, — неслучайный -мерный вектор-столбец, компоненты которого равны математическим ожиданиям случайных компонент вектора X,
А, В и С — постоянные матрицы порядков соответственно
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!