Реализация процедуры и функции работы с бинарным деревом.

Бинарное (двоичное) дерево (binary tree) - это упорядоченное дерево, каждая вершина которого имеет не более двух поддеревьев, причем для каждого узла выполняется правило: в левом поддереве содержатся только ключи, имеющие значения, меньшие, чем значение данного узла, а в правом поддереве содержатся только ключи, имеющие значения, большие, чем значение данного узла.

Бинарное дерево является рекурсивной структурой, поскольку каждое его поддерево само является бинарным деревом и, следовательно, каждый его узел в свою очередь является корнем дерева.

Узел дерева, не имеющий потомков, называется листом.

Схематичное изображение бинарного дерева

Бинарное дерево может представлять собой пустое множество.

Бинарное дерево может выродиться в список

Построение бинарного дерева

Реализация бинарного дерева: При реализации дерева с помощью динамических переменных каждый элемент дерева, помимо информационной части, содержит два указателя: на левое и правое поддеревья этого элемента. Переменная ссылочного типа fRoot указывает на корневой узел дерева. Если какой-либо узел дерева не имеет левого или правого поддерева, то соответствующий указатель этого узла содержит значение nil.

Сначала мы должны определить структуру для создания корня и узлов дерева:

template<class T>

struct TNode {

T value;

TNode *pleft, *pright;

//constructor

TNode() {

pleft = pright = 0;

}};

Здесь поля pleft и pright - это указатели на потомков данного узла, а поле value предназначено для хранения информации.

Теперь мы можем написать рекурсивную функцию, которая будет вызываться при создании дерева:

template<class T>

void makeTree(TNode<T>** pp, T x) {

if(!(*pp)) {

TNode<T>* p = new TNode<T>();

p->value = x;

*pp = p;

}

else {

if((*pp)->value > x)

makeTree(&((*pp)->pleft), x);

else

makeTree(&((*pp)->pright), x);

}}

Эта функция добавляет элемент x к дереву, учитывая величину x. При этом создается новый узел дерева.

Обход дерева

Функция, выполняющая обход дерева, позволяет перебрать все элементы, содержащиеся в дереве.

В приведенной ниже реализации функция обхода дерева будет просто выводить на экран значение поля value каждого узла дерева (включая его корень):

template<class T>

void walkTree(TNode<T>* p) {

if(p) {

walkTree(p->pleft);

cout << p->value << ' ';

walkTree(p->pright);

}}

При работе с деревьями обычно используются рекурсивные алгоритмы. Использование рекурсивных функций менее эффективно, поскольку многократный вызов функции расходует системные ресурсы. Тем не менее, в данном случае использование рекурсивных функций является оправданным, поскольку нерекурсивные функции для работы с деревьями гораздо сложнее и для написания, и для восприятия кода программы.

Например, нерекурсивная функция для обхода дерева может выглядеть так:

template<class T>

void walkNotRec(TNode<T>* tree) {

if (tree) {

TNode<T> temp;

TNode<T>* ptemp = &temp;

TNode<T>* p = ptemp, *c = tree, *w;

while (c!= ptemp) {

cout << c->value;

w = c->pleft;

c->pleft = c->pright;

if(c == p)

c->pright = 0;

else

c->pright = p;

p = c;

if (w) c = w;

}

}}

Организация данных с помощью бинарных деревьев часто позволяет значительно сократить время поиска нужного элемента. Поиск элемента в линейных структурах данных обычно осуществляется путем последовательного перебора всех элементов, присутствующих в данной структуре. Поиск по дереву не требует перебора всех элементов, поэтому занимает значительно меньше времени. Максимальное число шагов при поиске по дереву равно высоте данного дерева, т.е. количеству уровней в иерархической структуре дерева.