Вопрос: Какие из данных функций являются непрерывными?

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Рис. 4. Рис. 5.

Ответ: Из данных функций непрерывной является функция, изображенная на рис. №3, так как ее график - «неразрывная» (сплошная) линия.

Вопрос: Какими свойствами обладает функция, изображенная на рис. №3, и не обладают другие функции?

Ответ:

1. Функция определена в точке х₀. Это свойство не выполняется для функции, изображенной на рис. №1.

2. Существует конечный предел функции в точке х₀. Это свойство не выполняется для функций, изображенных на рис. №2, 5.

3. Предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, то есть . Это свойство не выполняется для функции, изображенной на рис. №4.

Свойства, которые выполняются для функции, изображенной на рис. №3, и дают возможность дать определение функции непрерывной в точке х₀.

 

Определение: Функция называется непрерывной в точке х₀, если .

Замечание: Если функция является непрерывной в точке х₀, то точка х₀ называется точкой непрерывности функции, если функция не является непрерывной в точке х₀, то точка х₀ называется точкой разрыва функции.

Определение: Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

 

5. Приращение аргумента, приращение функции

 

Пусть задана функция , .

х₀ – начальное значение аргумента, ;

х– конечное значение аргумента, ;

f (х₀) – начальное значение функции;

f(х₀ +D х) – конечное значение функции.

Определение: Разность конечного и начального значений аргумента называется приращением аргумента. D х = х – х₀

Определение: Разность конечного и начального значений функции называется приращением функции. D у = f(х₀ +D х) – f (х₀)

 

Замечание:

1. Геометрически приращение аргумента D х– есть разность абсцисс точек графика функции, соответствующих конечному и начальному значениям аргумента.
2. Геометрически приращение функции D у– есть разность ординат точек графика функции, соответствующих конечному и начальному значениям аргумента.
3. Приращение аргумента и приращение функции могут быть как положительными, так и отрицательными.

 

6. Понятие производной функции. Физический смысл производной функции

 

Рассмотрим задачу о скорости изменения функции , где х и у могут быть любыми физическими величинами.

х₀ – начальное значение аргумента; f (х₀) – начальное значение функции;

х₀ +D х – конечное значение аргумента; f(х₀ +D х) – конечное значение функции;

D у = f(х₀ +D х) – f (х₀) – приращение функции;

– средняя скорость изменения функции на интервале D х.

– мгновенная скорость изменения функции, скорость изменения функции в точке х₀.

Определение: Производной функции в точке х₀ называется предел отношения приращения D у функции в точке х₀ к приращению D х аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Вывод: Производная функции в точке х₀ есть скорость изменения функции в точке х₀.

 

Теорема: Производная постоянной функции у = с в любой точке равна нулю.

Теорема: Производная функции у = х в любой точке равна единице .

.

 

Замечание: Нахождение производной от данной функции называется дифференцированием.

7. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций

 

Рассмотрим функцию , состоящую из двух других функций и , имеющих производные на отрезке :

1) ;

2) ;

3) .

 

Теорема №1: Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций.

 

Пример: Вычислить производную функции

; .

Теорема №2: Производная произведения двух функций определяется по формуле:

Следствие: Постоянный множитель можно вынести за знак производной: .

Доказательство: .

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .
2. . .
3. .

1. . ; .

Упражнения:

1) ;

2) ;

3) .

 

Производная степенной функции при вычисляется по формуле:

Замечание: Формула справедлива для степенной функции с любым показателем степени . ,

Пример: Вычислить производные функций:

1. . Решение: .
2. . Решение: .
3. . Решение: .
4. . Решение: .

Вывод: .

Упражнения: Вычислить производные функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) .

Теорема №3: Производная частного двух функций определяется по формуле:

Следствия: ;

Пример: Вычислить производные функций:

1) .

2) . .

3) . .

Упражнения: Вычислить производные функций:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. .

 

 

8. Понятие сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции

 

Пусть функция определена на множестве , а функция на множестве , причем для , соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от х (функцией от функции).

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

 

Пример:

1. - тригонометрическая, линейная функция; , ;
2. - степенная, тригонометрическая функция; , ;
3. - степенная, линейная функция; , ;
4. - показательная, степенная функция; , ;

Упражнения:

1. Из каких элементарных функций состоят данные сложные функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1. Из данных элементарных функций составить сложные функции:

1) , ; 2) , ;

3) , . 4) , , .

Вывод: Производная сложной функции равна произведению производных элементарных функций, ее составляющих.

Пример: Вычислить производные функций:

1. .

- степенная, линейная; , .

.

2. .

- степенная, квадратичная; , .

.

Упражнения: Вычислить производные функций:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. .

 

 

9. Производная показательной, логарифмической функций

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .

2. . .

3. . .

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .

2. . .

Упражнения: Вычислить производную функции:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. .

 

 

10. Производные тригонометрических функций

Производные обратных тригонометрических функций

.

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .

2. . .

Задача: Вычислить производную функции .

. .

Задача: Вычислить производную функции .

.

Упражнение: Вычислить производную функции .

.