Из приведенного графика видно, что система неустойчива. Она требует проведения коррекции. Для этого необходимо определить параметры запретной зоны по точности.

;

; .

 

Рис.17. ЛАФЧХ разомкнутой системы

 

 

Для более точного решения задачи воспользуемся формулами для определения - К_V и Т₁, приведенными в таблице 5.

 

,

,

.

На частоте качки

Таким образом, низкочастотный участок ЛАЧХ находится выше запретной зоны (т. к. ). Базовая частота согласно таблице 3 соответственно равна

 

,

По формулам (24) и (25) определяем

.

Частота среза системы согласно таблице 3 равна

 

Очевидно, что с целью упрощения корректирующего устройства целесообразно выбрать Т₂ = Т_М. В этом случае несколько возрастают запасы устойчивости и увеличивается постоянная времени Т₁ =2,9 с.

Для правильного выбора параметров высокочастотной части желаемой ЛАЧХ построим ЛАЧХ исходной не скорректированной системы (рис.18) и низкочастотный и среднечастотный участки желаемой ЛАЧХ системы .

 

Рис. 18. ЛАЧХ скорректированной системы управления

Так как высокочастотные наклоны и должны совпадать, то примем Т₃ = Т₄, а следовательно и . В этом случае желаемая ЛАЧХ характеризуется следующими наклонами 20-40-20-60. Тогда

, а

Для увеличения протяженности среднечастотной части желаемой ЛАЧХ, а следовательно уменьшения колебательности М можно продлить единичный наклон до постоянную времени Т₃= 0,01с. В этой точке асимптоту желаемой ЛАЧХ направим параллельно асимптоте исходной , то есть с наклоном –60 дб/дек

Передаточная функция скорректированной системы примет вид

 

. (27)

Скоректированное значение коэффициента усиления усилителя

По уравнению (26) необходимо проверить, удовлетворяет ли система допустимому значению показателя колебательности М < 1,3.

 

Так как и .

то можно утверждать, что система обеспечивает нужные показатели качества процесса управления.

2. Методика В. В. Солодовникова (второй тип задания).

Для построения низкочастотной части желаемой ЛАЧХ необходимо, выбрать порядок астатизма и коэффициент усиления разомкнутой системы. Формулы для построения низкочастотной части могут быть получены из уравнений (18) - (22). Для типовых следящих систем они приведены в таблице 4 для воздействий в виде скачков по положению, скорости и ускорению.

Для построения среднечастотной части желаемой ЛАЧХ надо воспользоваться функциональной зависимостью перерегулирования s% и относительного времени переходного процесса от величины максимального всплеска вещественной частотной характеристики (ВЧХ) Р_max, то есть графиками s% = f (Р_max) и = f (Р_max) (рис. 19) [7].

Рис. 19. Зависимость перерегулирования и относительного времени переходного процесса от максимального значения ВЧХ

 

Из этих графиков по заданному значению s% определяют Р_max, после чего определяют и по t_nn частоту среза желаемой ЛАЧХ:

(28)

Значение минимума ВЧХ принимаем равным

. (29)

Если, например, задано s%<25% и t_nn < 1c. то из рис. 16 и уравнений (28) и (29) находим Р_max=1,2; Р_min =-0,2, а

Для того чтобы выполнялось условие Р_max >Р(w)>Р_min, необходимо на диаграмме для Р(w) (рис. 20) построить запретную область в виде прямоугольника, стороны которого являются касательными к КПивым с индексами Р_min и Р_max. По параметрам запретной зоны определяются требуемые запасы по модулю L₁ и L₂, и фазе и .

 

 

Рис. 20. Номограммы для определения запасов по модулю и фазы

Так при Р_min =- 0,2, Р_max= 1.2 находим L₁ = L₂ =15 дБ, = =45⁰. Откладывая на оси частот полученную по уравнению (28) величину w_С для желаемой ЛАЧХ, проводим через эту точку прямую с наклоном -20 дБ/дек. Протяженность этой прямой L охватывает диапазон частот, в котором выполняется условие L₁ > L (w) > L₂. Сопряжение среднечастотной части желаемой ЛАЧХ с низкочастотным и высокочастотным участками выполняются прямыми, наклоны которых минимально отличаются от соответствующих наклонов исходной ЛАЧХ. В этом случае корректирующие устройства получаются наиболее простыми.

Пример. Задана передаточная функция разомкнутой не скорректированной астатической следящей системы рис. 6:

 

,

где Т_ТР =0,02с -постоянная времени тиристорного регулятора, Т_Я =0,08с - электрическая постоянная времени двигателя, Т_М =0,14с - механическая постоянная времени двигателя, Кр =1230с^-1 – коэффициент усиления разомкнутой системы.

Тогда

Сформировать желаемую ЛАХ, если известно, что максимальная ошибка е _max не должна превышать 0,1° при скорости вращения задающей оси w_уст = 36град/с. Момент сопротивления нагрузки М_с= 4 10⁴ г×см, передаточное число редуктора i=100, жесткость механических характеристик двигателя b=0,4 г×см×с/град, время переходного процесса t_п <0,3с, перерегулирование s%<20%.

 

Решение.

1. Построим ЛАЧХ не скорректированной исходной системы. для чего на частоте w=1 отложим и проведем через эту точку асимптоту с наклоном -20 дБ/дек до первой сопряженной частоты w₁=7,1 с^-1, затем, начиная от этой частоты, прямую с наклоном -40 дБ/дек до следующей частоты w₂=12,6 с^-1. На этой частоте наклон изменяется до -60 дБ/дек и наконец на частоте w₃=51,3с^-1наклон изменяется до -80 дБ/дек (см. рис.21).

2. Из табл. 6 определим требуемый коэффициент усиления разомкнутой системы, обеспечивающий заданную точность в установившемся режиме:

 

,

 

Таким образом, ЛАЧХ исходной системы имеет вид 1-2-3-4 (рис. 21). Ее анализ показывает, что постоянной времени тиристорного регулятора можно пренебречь, поскольку она практически не оказывает влияния на частоту среза системы.

Рис. 21. ЛАЧХ проектируемой системы

 

3. Построим желаемую ЛАЧХ.

Вычислим значение частоты среза. Если, s%=20% и t_nn < 0,3c. то из рис. 16 и уравнений (28) и (29) находим Р_max =1,15; Р_min =-0,15, а

Запас устойчивости определяем по монограмме рис. 20 для Р_max =1,15; Р_min =–0,15: 18 дб, –18 дб. Среднечастотный участок строится под наклоном –20 дб/дек и проходит через ноль на частоте среза системы w_ср=28 с^-1_. На уровне значений запасов устойчивости определяем среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ и соответствующие сопрягаемые частоты, в частности, для 18 дб получаем w₂=3,7с^-1 и для -18 дб получаем w₃=224 с^-1. Для сопряжения с низкочастотной асимптотой выбираем наклон –40 дб/дек. Точка ее пересечения с низкочастотной асимптотой исходной ЛАЧХ получается на частоте w₁=0,21с^-1. В высокочастотной области, исходя из обеспечения максимальной простоты корректирующих устройств и учитывая принятые упрощения системы, выбираем асимптоту с наклоном –60 дб/дек параллельную высокочастотной асимптоте исходной ЛАЧХ. В этом случае передаточная функция разомкнутой скорректированной системы примет вид

 

. (30)

Полученная передаточная функция скорректированной системы обеспечивает заданные показатели качества процесса регулирования. Для проверки запасов устойчивости необходимо построить ФЧХ

 

Анализ приведенной на рис. 21 ФЧХ показывает, что скорректированная система устойчива и имеет, следующие запасы по амплитуде DL=16 дб, по фазе Dj=45⁰.

 

5.4.2. Построение корректирующего устройства для системы управления

 

Задача выбора корректирующих устройств по заданной желаемой ЛАЧХ не решается однозначно и во многом является творческой, поскольку одни и те же ЛАЧХ могут быть обеспечены различными корректирующими устройствами. Однако с практической точки зрения системы с различными корректирующими устройствами, обеспечивающими одинаковую ЛАЧХ, имеют различную чувствительность к внутренним сигналам помех и нелинейностям элементов, а также к отклонениям ее параметров.

При этом не следует забывать, что точные ЛАЧХ всегда представляют собой плавные КПивые и не имеют излома. Поэтому при сложном виде асимптотической ЛАЧХ корректирующего устройства нет необходимости стремиться реализовать ее в точности. Может оказаться целесообразным предварительно упростить ЛАЧХ, уменьшив число ее изломов, то есть, заменив несколько идущих подряд коротких асимптот более длинными асимптотами, осредняющими ЛАЧХ корректирующего устройства.

Целесообразно применение последовательных корректирующих цепочек: интегрирующих одинарных и двойных цепочек, а также смешанных интегрирующих - интегродифференцирующих цепочек. Это позволит повысить добротность системы при сохранении полосы пропускания. В системах, скорректированных таким образом динамические свойства ограничиваются наибольшая постоянная времени исходной системы.

Анализ возможных случаев соотношения частот среза ЛАЧХ желаемой и исходной систем приводит к выводу, что прежде чем вводить корректирующее устройство в прямую или обратную связь, целесообразно исследовать возможность уменьшения постоянных времени функциональных элементов системы. Это достигается выбором более быстродействующих элементов, что позволяет существенно упростить вид корректирующего устройства и тем самым уменьшит, его чувствительность к помехам, неучтенным нелинейностям и изменению параметров системы.

Наиболее просто определяются структура и параметры передаточной функции последовательно включенного корректирующего устройства.

Его передаточная функция может быть найдена графически как результат вычитания исходной ЛАЧХ из желаемой или по формулам

 

; . (31)

Для рассмотренного выше примера без учета принятых упрощений передаточная функция корректирующего устройства в соответствии с (31) примет вид

.

Анализ полученной зависимости показывает, что корректирующее устройство весьма трудно поддается реализации из-за высокого порядка. Поэтому целесообразно упростить его, пренебрегая влиянием постоянной времени тиристорного регулятора. В этом случае его передаточная функция примет вид

 

После того, как получена ЛАЧХ и определена передаточная функция корректирующего устройства, следует перейти к выбору ее технического аналога. Соображения по этому вопросу приведены в учебной литературе [1-3, 5-8]. При этом следует помнить, что передаточные функции корректирующих устройств получены при допущении, что выходное сопротивление источника сигнала много меньше входного сопротивления корректирующей цепи, а входное сопротивление усилительного устройства много больше выходного сопротивления корректирующей цепи. Это обстоятельство следует учитывать при согласовании корректирующего устройства с входной и выходной цепями элементов системы, между которыми располагается корректирующее устройство. Возвращаясь, к примеру, видим, что ЛАЧХ корректирующего устройства при некотором упрощении может быть представлена совокупностью интегрирующих и дифференцирующих звеньев, пример технической реализации которых в виде типовых схем приведен в Приложение3.

Разобьем передаточную функцию корректирующего устройства на два вида корректирующих звеньев, имеющих ЛАЧХ, показанные на рис.22.

 

а) б)

Рис. 22. ЛАЧХ двух видов корректирующих устройств: а) КУ1- интегрирующее; б) КУ2 –дифференцирующее.

В качестве технической реализации корректирующих устройств, обеспечивающих получение этих ЛАЧХ, выберем пассивные четырехполюсники постоянного тока, показанные на рис. 23

 

а) б)

Рис. 23. Принципиальные схемы корректирующих устройств: а) КУ1- интегрирующее; б) КУ2 –дифференцирующее.

Передаточные функции этих корректирующих устройств можно представить следующим образом. Для первого вида корректирующих устройств (КУ1-интегрирующего)

 

,

где ; ; ;

Для второго вида корректирующих устройств (КУ2 - дифференцирующего)

 

,

где ; ; .

 

Из анализа ЛАЧХ корректирующего устройства можно видеть, что для его реализации потребуется одно интегрирующее звено и, по крайней мере, два дифференцирующих звена.

Для первого звена

T₁ = T₁ =4,9c, T₂ = T₂ =0,27c,

Для второго

T₁ = T_М =0,14c, T₂ = T₃ =0,0045c,

Для третьего

T₁ = T_Я =0,08c, T₂ = T₃ =0,0045c,

 

Учитывая, что при последовательном соединении звеньев их ЛАЧХ складываются, то следует ожидать, что горизонтальная высокочастотная асимптота КУ опустится на величину = -25,2 дб, а низкочастотная на . Чтобы обеспечить требуемый коэффициент усиления КУ на высоких частотах, необходимо последовательно с ним включить усилитель с коэффициентом усиления

.

Для того, чтобы произвести расчет параметров звеньев КУ, необходимо задаться в каждом из них каким либо одним элементом, например входным сопротивлением R₁ =56кОм. Это связано с тем, что число неизвестных параметров звеньев превышает число связывающих их уравнений.

Для первого интегрирующего звена

.

Для первого дифференцирующего звена

;

Для второго дифференцирующего звена

;

Таким образом, интегрирующее звено, два дифференцирующих звена и усилитель с коэффициентом усиления 250 устанавливаем последовательно в исходную схему САР в слаботочную цепь между усилителем сравнения и тиристорны регулятором (рис.24). Причем для исключения влияния отдельных звеньев корректирующего устройства (9,10,11) друг на друга через входные и выходные сопротивления между ними целесообразно установить развязывающие усилители (12,13,14). Их коэффициенты усиления можно выбрать равными 250/3@85.

Приведенная техническая реализация системы управления может быть существенно улучшена, если в качестве датчиков обратной связи задающего и исполнительного органов использовать не датчики скорости, которые требуют в позиционных системах применения дополнительных интегрирующих звеньев (8), а датчики положения.

 

Рис. 24. Скорректированная САР соотношения углов поворота двигателей

 

5.5. Построение переходного процесса в скорректированной системе.

 

Известно несколько способов построения переходных процессов: прямое решение однородного дифференциального уравнения замкнутой системы; решение уравнения замкнутой системы в операторной форме с использованием обратного преобразования Лапласа и применение метода трапеций к ВЧХ замкнутой системы.

1) Однородное дифференциальное уравнение скорректированной замкнутой системы имеет следующий вид

 

Используя известные численные методы решения такого вида уравнений, например пакеты прикладных программ Mapl и MatCad, получим следующий вид переходного процесса (рис.25).

Как видно из графика длительность переходного процесса равна 0,42 с, а перерегулирование s=15%, что удовлетворяет исходным требованиям, предъявляемым к системе управления.

 

Рис. 25. Переходный процесс в скорректированной системе.

 

2) Приближенные методы построения переходных процессов (Метод трапеций).

Используя комплексный коэффициент передачи замкнутой системы и разложение входного воздействия в ряд Фурье можно получить переходную функцию h (t). Проделав соответствующие преобразования, она приводится к следующему виду

, (32)

 

где P(w) –вещественная частотная характеристика замкнутой системы управления. Интегрирование этого выражения представляет большие трудности. Поэтому обычно используется приближенное решение задачи. Для этой цели вводится понятие типовой единичной тра­пецеидальной вещественной характеристики(рис. 26).

 

Рис. 26. Типовая единичная тра­пецеидальная вещественная частотная характеристика

Единичная трапеция имеет высоту, равную единице и частоту среза w_с, также равную едини­це, точнее, 1 сек^-1. Единичная трапеция характеризуется часто­той излома, которая может быть задана в виде коэффициента наклона трапеции

. (33)

Для единичных трапеций с различными коэффициентами наклона по выражению (32) может быть вычислен оригинал, т. е. функция времени. Эта функция получила название h -функции. В настоящее время составлены подробные таблицы h -функций для различных коэффициентов наклона, лежащих в пределах 0< l< 1 [1,2,3].

По такой таблице для каждого коэффициента наклона единичной трапеции может быть построе­на функция времени h (t), где t– безразмерное вре­мя, соответствующее единичной трапецеидальной характеристике. КПивая переходного процесса для ВЧХ с отличными от единицы значениями высоты и частоты среза находится путем соответствующего масштабирования табличных значений h -функции, построенных для заданного коэффициента наклона.

. (34)

Метод построения кривой переходного про­цесса заключается в том, что построенную веще­ственную характеристику исследуемой системы разбивают на ряд трапеций, заменяя приближенно кривые линии прямолинейными от­резками так, чтобы при сложении ординат всех трапеций получилась исходная характеристика. Затем для каждой трапеции, определяется коэффи­циент наклона и коэффициент высоты r. При известном коэффициенте наклона по таблицам могут быть построены h - функции для каждой трапеции.

КПивая переходного процесса может быть получена суммированием построенных h -функций с учетом правил масштабов. Правила масштабов заключаются в следующем.

1. Перед сложением ординаты каждой h -функции необходимо умножить на высоту соответствующей трапеции, так как h -функция построена для трапеции, имеющей единичную высоту. При этом необходимо учитывать знак высоты, считая высоту положительной для трапеций, распо­ложенных выше абсцисс.

3. Перед сложением необходимо изменить масштаб времени каждой h -функции, так как они построены для единичной трапеции, имеющей частоту среза w_с = 1 сек^-1. Действительное время равно времени t₀, приведенному в таблице h -функций, деленному на частоту среза соответствующей трапецеидальной характеристики.

В этом случае переходный процесс системы равен

, (35)

где п — число трапеций, на которые разбита вещественная характери­стика Р (w).

В заключение заметим, что при построении КПивой переходного процесса по трапецеидальным частотным характеристикам наибольшие ошибки полу­чаются в начальной части кривой, так как отбрасываемый «хвост» веществен­ной частотной характеристики замкнутой системы влияет главным образом именно на начальную часть кривой переходного процесса.

Для рассматриваемого примера с передаточной функцией разомкнутой системы (30) комплексный коэффициент усиления замкнутой скорректированной системы равен

. (36)

ВЧХ замкнутой системы

.

График ВЧХ скорректированной системы приведен на рис. 27.

 

Рис. 27. ВЧХ замкнутой скорректированной системы

 

В соответствии с рассмотренной выше методикой разобьем КПивую ВЧХ на три элементарные трапеции со следующими параметрами:

Трапеция №1.

w_с1 = 41,6 сек^-1; l₁ w_с1 = 11,6 сек^-1; r₁ =1,5; l₁ = 0,28.

Трапеция №2.

w_с2 = 5,1 сек^-1; l₂ w_с2 = 1,9 сек^-1; r₂ =0,1; l₂ = 0,37.

Трапеция №3.

w_с3 = 113,8 сек^-1; l₃ w_с3 = 62,0 сек^-1; r₃ = 0,4; l₃ = 0,55.

В соответствии с полученными значениями l₁, l₂, l₃ по таблице h -функций [1,2,3] для каждой трапеции находят ряд значений безразмерного времени t₀ и значений h (t₀) и заносят их в таблицу 6.

Таблица 6.

№ трап	Коэф-т наклона	Пара метр	Значения параметров
	l1 = 0,28	t0
h (t0)
t = t0 / wс,с
y1 (t)= rh (t0)
	l2 = 0,37	t0
h (t0)
t = t0 / wс,с
y2 (t)= rh (t0)
	l3 = 0,55	t0
h (t0)
t = t0 / wс,с
y3 (t)= rh (t0)

 

На основании значений, приведенных в таблице 6, строятся графики переходных характеристик для каждой трапеции (рис. 28).

 

3Тр

yрез(t)

2Тр

1Тр

Рис. 28. Графики переходных процессов, построенные с помощью метода трапеций

 

Исходя из анализа вида трапеций, результирующий переходный процесс может быть найден следующим образом.

Как видно из графика результирующего переходного процесса его длительность равна 0,28 с, а перерегулирование s<20%, что удовлетворяет исходным требованиям, предъявляемым к системе управления.

Расхождение полученных результатов и результатов численного дифференцирования, вероятно, объясняются более высокими требованиями последнего к точности исходной информации, полученной приближенными графическими методами.