Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-06-02 | 239 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Переменными
Определение. Уравнение с разделенными переменными – это уравнение вида
или , (1.8)
где и функции, зависящие только от х и y соответственно, являющиеся непрерывными при рассматриваемых значения х и y.
Общим интегралом такого уравнения является равенство
,
в котором под выражениями понимаются произвольные первообразные функций М и N, соответственно, С – произвольная постоянная.
Пример 1. Проверить, что общим интегралом ОДУ в области , является равенство
. (1.9)
Решение. Действительно, проинтегрировав его левую часть, получим
,
следовательно, общим интегралом рассматриваемого уравнения является соотношение
,
откуда, в силу произвольности константы , следует (1.9), где .
Пример 2. Уравнение
при интегрируется так:
или ,
где , следовательно, общий интеграл имеет вид
,
где произвольная константа.
Определение. Уравнение вида
, (1.10)
в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от х и только от y, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Умножением обеих частей этого уравнения на функцию
, (1.11)
оно приводится к уравнению (1.8) с разделенными переменными. Поэтому общий интеграл ОДУ (1.10) есть
. (1.12)
Если уравнения имеют действительные решения x=a и y=b, то функции , являясь решением (1.10), могут не входить в общий интеграл (1.12) ни при каком конечном значении С, хотя при этом среди них могут быть частные решения (1.10), то есть последние при интегрировании оказываются потерянными. Точки вида х=а, y=b исключаются из интегральных кривых, соответствующих решениям , так как в этих точках уравнение (1.10) не задано. Необходимо отметить также, что среди решений могут быть и особые решения ОДУ (1.10).
|
Пример 3. Проинтегрировать уравнение
. (1.13)
Решение. Обе части уравнения умножим на функцию , тогда его можно записать в дифференциальной форме
. (1.14)
Получили уравнение с разделенными переменными. Его общий интеграл при при есть соотношение
,
где произвольная постоянная. Константу представим в виде , тогда , откуда имеем или . В последнем соотношении, в силу произвольности , знаки модуля можно опустить. Следовательно,
. (1.15)
Очевидно, решение уравнения (1.13) не входит в последнюю формулу ни при каком значении , хотя соответствующая ему интегральная кривая лежит в областях существования и единственности решения задачи Коши этого уравнения, то есть решение оказалось потерянным. Однако оно входит в формулу (1.15) при . Поэтому, допуская в (1.15) и , получаем, что общее решение уравнения (1.13) при имеет вид
,
где произвольная постоянная.
Заметим, что функция является решением перевернутого по отношению к (1.13) уравнения
.
Пример 4. Найти решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Разделим переменные, умножив обе части уравнения на . Имеем
.
Интегрируя последнее уравнение, получаем
или
.
Так как , то в последнем соотношении . Отсюда находим общее решение данного уравнения в области :
.
Выделим частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Для этого в формуле общего решения положим , получим уравнение для определения значения константы . Из него находим . Из двух, значений и выбираем , так как точка не лежит на кривой .
Итак, искомое решение есть .
Пример 5. Найти общий интеграл уравнения
. (1.16)
Решение. ОДУ (1.16) – это уравнение с разделяющимися переменными. Умножив обе части его на функцию
,
получим уравнение с разделенными переменными
. (1.17)
Общим интегралом последнего является соотношение
|
или
. (1.18)
Следовательно, (1.18) есть общий интеграл ОДУ (1.16).
Заметим, что формула (1.18) получена в предположении, что . Функции и являются, очевидно, решениями (1.16) и они не входят в (1.18) ни при каком конечном значении константы С. Покажем, что функции являются частными, а функция – особым решением уравнения (1.16).
Действительно, полупрямые лежат в областях существования и единственности уравнения
, (1.19)
получающегося из (1.16) разрешением относительно . Значит, эти полупрямые есть частные решения ОДУ (1.19), а следовательно и (1.16). Записав общий интеграл (1.18) в иной форме, выделим из него эти частные решения. Положим в (1.18) , где произвольная константа, тогда (1.18) перепишется так:
или
.
Отсюда имеем и, в силу произвольности ,
. (1.20)
Соотношение (1.20) - также общий интеграл ОДУ (1.16). Оно получено в предположении Очевидно, решения уравнения (1.16) получаются из (1.20) при значении Но, как мы показали, эти решения – частные, следовательно, в (1.20) можно допускать и . Таким образом, частные решения уравнения (1.16) получаются из общего интеграла (1.20) этого уравнения при
Покажем сейчас, что функция является особым решением уравнения (1.16). Отметим, во-первых, что соответствующая ей интегральная кривая не лежит в областях существования и единственности уравнения
,
перевернутого по отношению к (1.19), так как частная производная по функции в точках прямой обращается в бесконечность. Убедимся теперь в том, что через каждую точку интегральной кривой проходит по крайней мере две интегральные кривые уравнения (1.16). Выберем произвольно точку на этой кривой и ее координаты подставим в общий интеграл (1.20). Будем иметь соотношение для определения :
.
Отсюда находится кривая . Таким образом, интегральная кривая также проходит через точку , то есть функция – особое решение ОДУ (1.16).
1.2.1.Примеры для самостоятельного решения
Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения.
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. .
Решить задачу Коши.
1. ,
2. .
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!