Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2024-02-15 | 15 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Під час розв’язування деяких задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел. Зокрема, так було під час розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом.
Наприклад:
Добування кореня парного степеня з від’ємного числа неможливо, якщо обмежуватися розгляданням тільки дійсних чисел. Серед дійсних чисел немає . Коренем парного степеня з від’ємного числа являються особливі (не дійсні) числа.
Щоб виконувалась ця операція, необхідно розширити множину дійсних чисел приєднанням до неї нових чисел так, щоб множина утворила числове поле, в якому, крім перелічених вище дій, завжди можна було виконувати і добування коренів. Це питання було успішно розв’язане лише у ХІХ ст. При розширені множини дійсних чисел повинні виконуватися такі умови:
1) визначення нових чисел повинно опиратися на поняття дійсного числа, і нова множина повинна містити всі дійсні числа;
2) для нових чисел повинно виконуватися п’ять законів перших арифметичних дій;
3) в новій числовій множині повинно мати розв’язки рівняння , так як в цій множині повинна виконуватися дія, обернена до піднесення до степеня, вважаючи її розв’язком цього рівняння.
Домовившись позначити буквою і і називати уявною одиницею, тобто .
Отже, за означенням і – число, квадрат якого дорівнює -1, тобто .
Як бачимо, що нова множина, крім дійсних чисел, містить й число і.
Розв’яжемо квадратне рівняння:
Кожен з найдених коренів представляє собою алгебраїчну суму дійсного і уявного доданків. Такі числа називаються комплексними числами.
Комплексним числом називається будь – яке число, яке має вигляд , де a і b – дійсні числа, а і – уявна одиниця.
|
Оскільки в цій множині можливе множення, то вона містить і всі числа виду bi. Завжди можливе в цій множині і додавання, тому їй належать і всі числа виду . Число а прийнято називати дійсною частиною, вираз bi – уявною частиною комплексного числа . Число b називається коефіцієнтом при уявній частині. Комплексне число позначають буквою z.
Наприклад, для комплексного числа дійсною частиною є 4, а уявною – вираз 6і, коефіцієнт при уявній частині дорівнює 6, для числа дійсною частиною є число 0, а уявною – вираз 7і, коефіцієнт при уявній частині 7.
Із визначення комплексного числа випливає, що дійсні і уявні числа можна розглядати як окремі випадки комплексних чисел. Дійсно, в комплексному числі коефіцієнт то . Комплексне число стає дійсним. Якщо ж , то , тобто комплексне число стає чисто уявним.
Поняття комплексного числа, яке ввійшло в математику ще з XVIII ст., на протязі довгого часу мало лише теоретичне значення і служило тільки потребам математики, утворюючи ряд незручностей при розв’язанні рівнянь. В науці доволі довго не було реальних явищ, які описувались би за допомогою комплексних чисел, і це призвело до того, що комплексні числа довго розглядалися як поняття, які не відповідають чому – не будь, що має місце в реальному світі. Звідси і походить термін "уявне число", тобто "реально не існуюче". Але в останній час цей погляд невірний.
Комплексне число використовується в багатьох науках: електротехніці, радіотехніці, аеродинаміці і т.д.
Із сказаного вище випливає, що комплексне число представляє корисне значення для нашої практичної діяльності розширення і узагальнення поняття числа, яке дозволяє описати важкі реальні явища, і тому являється поняттям таким же реальним, як і дійсне число.
Відносно комплексних чисел прийняті наступні властивості:
1. Два комплексних числа і називаються рівними тоді. І тільки тоді, коли їх дійсні і уявні частини рівні і рівні коефіцієнти при уявній одиниці, тобто якщо і .
|
З умови рівності комплексних чисел визначимо х і у у рівнянні
З умови рівності комплексних чисел випливає:
Розв’яжемо отриману систему з двох лінійних рівнянь з двома невідомими:
Перевірка:
2. З умови рівності комплексних чисел виходить, що комплексне число дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли його дійсна частина дорівнює нулю і коефіцієнт біля уявної частини дорівнює нулю, тобто , якщо і .
3. Модулем комплексного числа називається корінь квадратний із суми квадратів його дійсної частини і коефіцієнта біля уявної частини, тобто . Модуль є величина додатна, тобто яка виражає арифметичне значення кореня.
Наприклад: , .
4. Два комплексних числа і , які відрізняються лише знаком коефіцієнта біля уявної частини, називаються спряженими.
Наприклад: і - спряжені комплексні числа.
Комплексні корені квадратного рівняння завжди будуть спряженими числами.
Покажемо, що модулі двох спряжених чисел рівні між собою:
тобто .
Кожне комплексне число z може бути записане у вигляді: , де a і b – дійсні числа, а і – уявна одиниця. Ця форма запису комплексного числа називається алгебраїчною формою комплексного числа.
Дії над комплексними числами виконують за правилами дій над многочленами.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!