Розрахунок частинних коефіцієнтів кореляції

Частинні коефіцієнти кореляції можна знайти таким чином. Нехай – матриця парних коефіцієнтів кореляції, а С – матриця, обернена до :

= .

Тоді часткову кореляцію між k-м та j-м факторами обчислимо так:

.

Множинний коефіцієнт кореляції R визначають тоді, коли досліджуваному об’єкту або явищу притаманно більш ніж дві ознаки
Х₁, Х₂, … , Х_k та необхідно вивчати множинні залежності. У таких випадках знаходять не парний (за двома ознаками), а сукупний коефіцієнт кореляції. Він показує щільність зв’язку між розглядуваною змінною Х_і  та множиною інших факторів, його позначають як R_i.

Розрахунок множинного коефіцієнта кореляції

Для розрахунку множинного коефіцієнта кореляції між деякою змінною Х_і  та множиною інших факторів необхідно:

1)  побудувати матрицю парних коефіцієнтів кореляції між ознаками:

r = ;

2)  знайти визначник А матриці r та алгебричне доповнення А_iі елемента r_ii цієї матриці;

3) розрахувати множинний коефіцієнт кореляції за формулою

.

На відміну від парних коефіцієнтів кореляції сукупний коефіцієнт кореляції має лише додатне значення.

Різноманітні коефіцієнти кореляції, що показують щільність зв’язку між змінними, змінюються в діапазоні [-1; 1]. Висновок про щільність зв’язку можна обґрунтувати кількісно, застосовуючи таку шкалу для аналізу:

- коефіцієнт кореляції 0,9 - 0,99 – зв’язок дуже сильний;

- коефіцієнт кореляції 0,8 - 0,9 – зв’язок сильний;

- коефіцієнт кореляції 0,5 - 0,8 – зв’язок помірний;

- коефіцієнт кореляції 0,2 - 0,5 – зв’язок слабкий;

- коефіцієнт кореляції менший 0,2 – зв’язок практично відсутній.

Вище наведено шкалу для абсолютних значень коефіцієнта кореляції. Залежно від знака коефіцієнта кореляції цей зв’язок є прямий (у разі зростання однієї зі змінних друга також зростає) або зворотний (за зростання однієї зі змінних друга зменшується). Наприклад, коефіцієнт кореляції, що дорівнює
–0,98, показує дуже сильний і зворотний зв’язок.

Оцінка статистичної значущості коефіцієнтів кореляції

Дослідження факторів ґрунтується на вибіркових статистичних даних. Вибіркові характеристики містять помилки, пов'язані з неповним охопленням спостереженнями всіх одиниць генеральної сукупності. Тому коефіцієнти кореляції, визначені на основі вибіркової сукупності спостережень, відрізняються від відповідних величин, розрахованих за генеральною сукупністю. Отже, необхідна перевірка їх надійності й статистичної значущості. На практиці застосовують нескладну схему перевірки значущості або незначущості зв’язку (тобто величини коефіцієнта кореляції) за допомогою t-статистики.

Етапи перевірки

1. Формулювання задачі у вигляді основної статистичної гіпотези дослідження та вибір альтернативної гіпотези.

Перевірка якої-небудь характеристики моделі на статистичну значущість означає перевірку гіпотези про те, чи може ця характеристика дорівнювати нулю в генеральній сукупності. Таким чином, основна статистична гіпотеза має вигляд  (коефіцієнт кореляції незначущий), і альтернативна гіпотеза Н₁:  (коефіцієнт кореляції відмінний від нуля та значущий).

2. Вибір статистичного критерію і обчислення його фактичного значення.

Розрахункове (фактичне) значення t-статистики отримуємо за формулою     

,

де m – кількість незалежних змінних, для яких розраховують коефіцієнт кореляції.

3. Визначення критичної області, а також критичного значення статистичного критерію за відповідною таблицею теоретичних розподілів.

Критичне значення t-статистики  встановлюють за таблицями розподілу Стьюдента. У цьому записі a – заданий рівень значущості (імовірність відхилення гіпотези за умови, що вона правильна); р = n - m – кількість степенів вільності (n – кількість спостережень, m – кількість незалежних змінних).

Зауваження. Табличне значення розподілу Стьюдента можна знайти також за допомогою вбудованої статистичної функції Excel СТЬЮДРАСПОБР(α; p), де α – вибраний дослідником рівень значущості;  р – степені вільності,  р = п – k + 2.

4. Перевірка основної гіпотези на основі порівняння фактичного і критичного значень критерію. Залежно від результатів перевірки основну гіпотезу або відхиляють, або приймають:

1) якщо , то приймають гіпотезу Н₀ про статистичну незначущість розрахованого коефіцієнта кореляції;

2) якщо , то приймають гіпотезу Н₁ про статистичну значущість коефіцієнта кореляції.

Кореляція в її формально-статистичному розумінні не розкриває причин зв'язку, а лише констатує його наявність, даючи оцінку напряму й щільності цього зв’язку, встановлює ступінь вірогідності міркувань про його наявність. Кореляційний аналіз виконує такі завдання: оцінка сили зв'язку і її кількісне вимірювання, визначення форми зв'язку і реальності його існування. У процесі вивчення економічних явищ дослідник, керуючись правилами кореляційного аналізу, насамперед повинен виходити з економічного змісту досліджуваних залежностей. Лише після цього можна встановити їх причинно-наслідковий характер. Одержані результати розрахунків поширюються лише на ті об'єкти, кількісні характеристики яких включені в розрахунки, а отже кореляційний аналіз повинен задовольняти вимоги об'єктивності на противагу формально-логічному підходу.

Таким чином, говорячи про природу кореляційного методу, потрібно пам'ятати, що кореляційні розрахунки – це суто математичний прийом, який зовсім не виявляє фізичної природи взаємозв'язків. Одержана на основі цього прийому числова оцінка зв'язків і залежностей інколи виявляється формальною, тобто є лише поверховою оцінкою явищ. Незнання цієї особливості методу призводить до неправильного його застосування. Якщо до того ж порушено правила формування статистичних сукупностей, виникає багато логічних помилок, спричинених хибною кореляцією.