Многозначная силлогистика. Базисы силлогистики

                        ЛЕКЦИЯ 6                        --------        МНОГОЗНАЧНАЯ СИЛЛОГИСТИКА.БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ.                                "Читай и слушай для собс-                          твенного развлечения рассказы                          о хитроумных системах,вникай в                          интересные вопросы,поставлен-                          ные там со всей изощрен-                          ностью,какой только может на-                          делить их пылкая фантазия,но                          смотри на все это только как                          на упражнения для ума и возв-                          ращайся каждый раз к согласию                          со здравым смыслом..."                          (Честерфилд "Письма к сыну")                                (1694 - 1773гг.)                          ПРЕДИСЛОВИЕ. Известный английский ученый(философ,логик,математик),автор осно-вополагающего труда по математической логике "Основания математики"Бертран Рассел(1872-1970) в своей работе "Искусство делать выводы" го-ворил:"Не изучайте традиционную формальную логику.Во времена Аристоте-ля это было великое достижение,каким была Птолемеева астрономия.Изу-чать то или другое в наши дни - это смешной аpхаизм".Это заявлениепустозвона:Б.Pассел,как и вся миpовая логика, не доpосли до уpовня pе-шения пpоблем Аpистотеля. Все,о чем далее будет идти речь(комплементарная логика,решениелогических уравнений,русская силлогистика,силлогистика Аристотеля-Жер-гонна,общеразговорная силлогистика) разработано в России и не известномировой науке.Все нижеизложенное опровергает классическую силлогисти-ку,устраняет множество ненужных правил,законов,излишних терминов,упро-щает до предела процесс анализа и синтеза силлогизмов,процедуру реше-ния логических уравнений.По существу произведена революция в силлогис-тике.Поэтому призываю всех читателей воспринимать все написанное край-не критически и обязательно проверять с точки зрения здравого смыс-ла.Чтобы не повторился парадокс теории относительности(ТО),которую в1998г. немецкие физики Георг Галецки и Петер Марквардт низвели с пь-едестала(ж."Юный техник",N5,1998,с.38-43;N6,1998,с.41-45).Они доказа-ли,что Эйнштейн - нечистоплотный делец от науки:Эренфест в 1909г. оп-роверг Эйнштейна,но,получив взятку от последнего в виде должности про-фессора физики,"забыл" о своем опровержении."Тысячи" экспериментов взащиту ТО оказались фиктивными.Из 5 попыток не было ни одной удачной.Стеорией относительности были несогласны многие советские уче-ные(см.В.А.Ацюковский "Логические и экспериментальные основы теорииотносительности" - М.:МПИ,1990г.),в последнее время к ним присоедини-лись швейцарские и амеpиканские физики.          КОМПЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА.БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ Силлогизмом называется умозаключение,в котором из двух данныхсуждений(посылок),связанных общим(средним) термином,получаетсятретье(вывод,или заключение).Общеизвестное высказывание "в огороде бу-зина,а в Киеве дядька" не является силлогизмом именно из-за отсутствиясреднего термина.Русская народная мудрость очень точно и образно опре-делила самую суть силлогизма. Современная силлогистика давно вызывает неудовлетворенность каксвоим несоответствием Аристотелевой логике[1,3-6,9-15,18],так и нечет-костью описания с точки зрения математической логики.Введение кванто-ров не разрешило этих проблем.Поэтому предпринимались и предпринимают-ся попытки ревизии аристотелевой силлогистики.Особенно интересны иперспективны с точки зрения решения задач анализа и синтеза силлогиз-мов работы русских ученых[9,18]. Для выражения любого умозаключения или посылки достаточно двухконструкций(в скобках представлена краткая форма записи суждений) : 1)Все X суть Y(Axy); 2)Некоторые X суть Y(Ixy); Однако традиционно в логике используются 4 базовых суждения(сил-логистических функтора): 1)Все X суть Y(Axy) - общеутвердительный функтор; 2)Ни один X не есть Y(Exy) - общеотрицательный функтор; 3)Некоторые X суть Y(Ixy) - частноутвердительный функтор; 4)Некоторые X не суть Y(Oxy) - частноотрицательный функтор. Из кругов Эйлера на основе методов минимизации логических функ-ций[15] тривиально получены следующие соотношения: Axy = (xy')' = x'+y Exy = (xy)'= x'+y' Здесь и далее апостроф означает отрицание. Эти соотношения впервые выведены П.С.Порецким[17](правда,традици-онная логика об этом до сих пор не догадывается)на основе рекурсии,ноони нигде не фигурируют и не применяются для анализа и синтеза силл-гизмов.Физический смысл функторов Аху и Еху ни у кого не вызывают сом-нений.Что касается суждений Ixy,Oxy,то здесь сложилась спорная ситуа-ция.Здравый смысл и булева алгебра утверждают,что Oxy = (Ixy)',а втрадиционной логике[8] Oxy = (Axy)' и Ixy = (Exy)',что отнюдь не бесс-порно и не убедительно.Однако примем на веру эти формулы,посколькуименно их рекомендуют для запоминания студентам. На этом основании мы получим следующие формулы для Ixy,Oxy: Ixy = (Exy)' = xy Oxy = (Axy)' = xy' Прежде всего эти соотношения противоречат друг другу.По определе-нию "Некоторые Х суть Y" и "Некоторые Х не суть Y" взаимно инверс-ны,т.е. Ixy = (Oxy)',Oxy = (Ixy)'.А из последней формулы следует экви-валентность суждений "Некоторые Х не суть Y" и "Некоторые Х суть не-Y",что совсем не соответствует действительности.Кроме того частноотри-цательное суждение вообще не имеет самостоятельного смысла,посколькуявляется тривиальным отрицанием частноутвердительного высказывания. Выборочная проверка при помощи кругов Эйлера "правильных" модусовEIO 1-й - 4-й фигур,EAO,OAO 3-й фигуры и AAI,EAO 4-й фигуры такжеподтвердила всю несостоятельность указанных соотношений.Аналитическийметод контроля силлогизмов дал такие же результаты. Неудовлетворенность трактовкой частных суждений высказывалась ещерусским логиком Васильевым Н.А.[6]:"...частное суждение представляетдля логики значительные трудности,употребление его полно двусмыслен-ности". Попытаемся прояснить содержательный смысл соотношения Ixy.КругиЭйлера не в состоянии отобразить все нюансы такого суждения.Посколькулогические аргументы представляют из себя скаляры,максимальная длинакоторых не может превышать "полной единицы"(универсума),т.е.x+x'=1,введем понятие скалярных диаграмм и заменим ими круги Эйлера. "Бытовой" логике,вероятно,более всего соответствует следующаяскалярная диаграмма.                          x'   x                     ----------===========                           y         y'                   a)==============-------                       y' y  y'                   b)-----==========------ Скалярная диаграмма не только определяет суждение Ixy как пересе-чения множеств X и Y,но и отмечает различные ситуации этого пересече-ния.Поскольку на наборе 00 функция z=f(x,y) может принимать значениякак 0,так и 1,то ей присваиваем значение возможности существованияi,т.е.значение "может быть".Значение "не может быть" является отрица-нием для "может быть",поэтому естественно выразить его через i'=j.Зна-чениям "да" и "нет" соответствуют 1 и 0.Такая вновь введенная четы-рехзначная комплементарная(взаимодополняющая,взаимоинверсная) логикаадекватно отображает логику человеческого мышления и описывается сле-дующими базовыми функциями: -----T---T-----T-----T----T---T-----T----- ¦ ¦ _ ¦ ¦ ¦ ¦ _ ¦ ¦ ¦ ¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ +----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ i0 ¦ j ¦ 0 ¦ i ¦ ¦ 0j ¦ 1 ¦ 0 ¦ j ¦ ij ¦ j ¦ 0 ¦ 1 ¦ ¦ 0i ¦ 1 ¦ 0 ¦ i ¦ ii ¦ j ¦ i ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ i1 ¦ j ¦ i ¦ 1 ¦ +----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+ ¦ j0 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ 10 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ ¦ jj ¦ i ¦ j ¦ j ¦ 1j ¦ 0 ¦ j ¦ 1 ¦ ¦ ji ¦ i ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1i ¦ 0 ¦ i ¦ 1 ¦ ¦ j1 ¦ i ¦ j ¦ 1 ¦ 11 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ L----+---+-----+-----¦----+---+-----+------ Общее количество функций n от m переменных в b-значной логике оп-ределяется по формуле n = b^(b^m),поэтому в комплементарной логике длядвух переменных получим n = 4^(4^2) = 4^16 = 2^32. На комплементарную логику распространяются все законы обычнойдвоичной логики,в том числе формула де Моргана и закон двойного отри-цания.Минимизация в комплементарной логике мало чем отличается от ми-нимизации в двузначной логике[12]. С аристотелевским определением частного суждения Ixy не согласнымногие логики.В работе [6] автор утверждает,что "научное употреблениеслова "некоторые" совпадает с общеразговорным",т.е. с бытовым,а неаристотелевским.Кроме того,Васильев Н.А. абсолютно правильно счита-ет,что Ixy и Oxy должны считаться одним суждением.Он также заявляет:"Вматематике так называемые частные суждения сводятся ... к общим,и онапрекрасно обходится без этого нелепого в совершенной науке слова "не-которые".К этому же должна стремиться и всякая наука...Частное сужде-ние нужно рассматривать вовсе не как какой-то вывод из общего сужде-ния,а как особый вполне самостоятельный вид суждения,вполне координи-рованный с общими суждениями,исключающий их и исключаемый любым изних".С точкой зрения такого известного ученого трудно не согласиться.                   Базис силлогистики Под базисом силлогистики будем понимать всевозможные вариантыпредставления суждений Axy,Exy,Ixy.Суждение Oxy получается автомати-чески из Ixy,поскольку является его отрицанием.                    Все x суть y(Axy). 1.Традиционное представление этого суждения изображено на скаляр-ной диаграмме,по которой заполнена таблица истинности.           x    x'     ===========----------      -----T---           y    y'         ¦ xy ¦Axy¦     ==============-------      +----+---+                                     ¦ 00 ¦ 1 ¦                                     ¦ 01 ¦ 1 ¦                                     ¦ 10 ¦ 0 ¦                                     ¦ 11 ¦ 1 ¦                                     L----+---- По таблице истинности синтезируем логическую функцию Axy: Axy = (xy')' = x'+y (Axy)' = xy' Кстати,впервые аналитическое представление для Аху вывел на базерекурсии великий русский логик П.С.Порецкий при решении логическихуравнений.Здесь же необходимо вновь обратиться к уточнению смысла имп-ликации.Дело в том,что x->y = x'+y = Axy.Но отсюда следует,что,если х- истинно,то у - также истинно,поскольку "Все х суть у". 2.Традиционное представление Axy не исчерпывает все ситуации.Вто-рая комбинация аргументов x,y изображена на диаграмме.             x'   x            -----T---        ----------===========       ¦ xy ¦Axy¦         y'   y               +----+---+     a)-----================       ¦ 00 ¦ i ¦                y                  ¦ 01 ¦ 1 ¦     b)=====================         ¦ 10 ¦ 0 ¦                                        ¦ 11 ¦ 1 ¦                                        L----+---- Ситуация b,представленная на рисунке,может быть проиллюстрированаследующим высказыванием:"Все люди смертны".Это справедливо при усло-вии,что "мир"(универсум)-все живые существа,т.к.все живое-смертно. С учетом вышеизложенного выражение для функции Axy приметвид: Axy = y+ix'y' (Axy)' = xy'+jx'y' 3.Третий вариант суждения Axy изображен на нижеприведенных ска-лярных диаграммах.По сравнению со вторым вариантом здесь добавленосуждение "x эквивалентно y".        x'   x   ----------===========        -----T---     y'   y                ¦ xy ¦Axy¦ a)-----================        +----+---+           y                    ¦ 00 ¦ i ¦ b)=====================        ¦ 01 ¦ i ¦     y'   y                ¦ 10 ¦ 0 ¦ c)----------===========        ¦ 11 ¦ 1 ¦                                          L----+---- Для ситуации "c" справедливо высказывание "Все люди владеют сло-вом".Если весь "мир" - живые существа,то понятия "люди" и "говорящиеживые существа" эквивалентны.Из табл.3 получаем следующее соотношение: Axy = xy+ix' (Axy)' = xy'+jx' Эти три варианта базиса для Axy не исчерпывают всех ситуаций,но всиллогистике оставшиеся за пределами рассмотрения комбинации аргумен-тов не являются решающими.               Ни один x не есть y(Exy). 1.Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграм-мах.     x    x' ===========----------    -----T---      y'   y        ¦ xy ¦Exy¦ -------------========    +----+---+                              ¦ 00 ¦ 1 ¦                              ¦ 01 ¦ 1 ¦                              ¦ 10 ¦ 1 ¦                              ¦ 11 ¦ 0 ¦                              L----+---- Из таблицы истинности имеем: Exy = (xy)' (Exy)' = xy Аналитическое представление для Еху впервые в мире вывел русскийученый П.С.Порецкий при решении логических уравнений. 2.Второй вариант суждения Exy представлен на рисунке.           x'   x     ----------=========== -----T---       y    y'        ¦ xy ¦Exy¦   a)======--------------- +----+---+          y    y'     ¦ 00 ¦ i ¦   b)==========----------- ¦ 01 ¦ 1 ¦                                ¦ 10 ¦ 1 ¦                                ¦ 11 ¦ 0 ¦                                L----+---- Для иллюстрации ситуации "b" подходит высказывание "Ни один живойне есть мертвый". Из таблицы истинности имеем: Exy = x'y+xy'+ix'y' (Exy)' = xy+jx'y' 3.Третий вариант суждения Exy изображен на скалярных диаграммах.           x'   x     ----------=========== -----T---       y    y'        ¦ xy ¦Exy¦   a)======--------------- +----+---+          y    y'     ¦ 00 ¦ i ¦   b)===========---------- ¦ 01 ¦ i ¦              y'           ¦ 10 ¦ 1 ¦   c)--------------------- ¦ 11 ¦ 0 ¦                                L----+---- Высказывание "Ни один человек не бессмертен" иллюстрирует ситуа-цию на диаграмме "c".Здесь "мир"-живые существа,а бессмертных существне бывает. Из таблицы выводим соотношение: Exy = xy'+ix' (Exy)' = xy+jx'                   Некоторые x суть y. Лобачевский Н.И. создал "воображаемую геометрию".По образу и по-добию великого русского геометра не менее великий русский логик Ва-сильев Н.А. разработал "воображаемую логику".Мы попробуем разобратьсяхотя бы в общеразговорной(бытовой) логике,тем более что частному суж-дению Ixy уделено недостаточное внимание. 1.Первый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.            x  ================-----       -----T---        y    y'          ¦ xy ¦Ixy¦ a)==============-------       +----+---+          y     y'       ¦ 00 ¦ 1 ¦ b)==================---       ¦ 01 ¦ i ¦      y'  y y'       ¦ 10 ¦ i ¦ c)--------==========---         ¦ 11 ¦ 1 ¦                                   L----+---- Из таблицы истинности получим соотношение: Ixy = xy+x'y'+i(xy'+x'y) (Ixy)' = j(xy'+x'y) 2.Второй вариант суждения Ixy представлен на рисунке.        x'   x  ----------===========       -----T---    y' y  y'         ¦ xy ¦Ixy¦ a)-----==========------       +----+---+         y   y'          ¦ 00 ¦ i ¦ b)==============-------       ¦ 01 ¦ 1 ¦                                   ¦ 10 ¦ 1 ¦                                   ¦ 11 ¦ 1 ¦                                   L----+---- Первой ситуации соответствует,например,такое суждение:"Некоторыемолодые люди - студенты".Здесь универсум - люди. Для иллюстрации второй ситуации подходит такой пример:"Некоторыемлекопитающие не умеют говорить".Универсум - существа.Если в первомслучае студенты и молодые люди еще не составляют универсума,то во вто-ром - млекопитающие и неговорящие существа дополняют друг друга доуниверсума. Из таблицы получим соотношение: Ixy = x+y+ix'y' (Ixy)' = jx'y' Этот базис назван автором русским базисом.Он абсолютно согласует-ся со здравым смыслом и имеет аналитическое представление. 3.Третий вариант суждения Ixy соответствует Аристотелевскому ба-зису[19].B аристотелевой силлогистике под Ixy понимается любая комби-нация понятий x,y,лишь бы пересечение этих понятий не было пус-тым.Аристотелевой трактовке этого суждения соответствуют приводимыениже скалярные диаграммы.         x'   x   ----------===========      -----T---         y    y'         ¦ xy ¦Ixy¦ a)==============-------      +----+---+     y' y  y'        ¦ 00 ¦ i ¦ b)-----==========------      ¦ 01 ¦ i ¦     y'   y              ¦ 10 ¦ i ¦ c)-----================      ¦ 11 ¦ 1 ¦         y'   y          L----+---- d)-------------======== Из таблицы получим соотношение: Ixy = xy+i(x'+y') (Ixy)' = j(x'+y') 4.Рассмотрим четветый вариант суждения Ixy.Этот базис получилназвание несимметричного.       x'   x  ----------===========        -----T---        y'   y           ¦ xy ¦Ixy¦ a)-------------========       +----+---+    y' y  y'         ¦ 00 ¦ 1 ¦ b)-----==========------       ¦ 01 ¦ i ¦                                   ¦ 10 ¦ 1 ¦                                   ¦ 11 ¦ 1 ¦                                   L----+---- Ситуация "а" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторыеюристы(x) - выпускники юридических вузов(y)"(не-юристов юридическиевузы не выпускают). Из таблицы получим соотношение: Ixy = x+y'+ix'y (Ixy)' = jx'y 5.Пятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.       x'   x  ----------===========       -----T---        y'   y           ¦ xy ¦Ixy¦ a)-------------========       +----+---+    y' y  y'         ¦ 00 ¦ i ¦ b)-----==========------       ¦ 01 ¦ i ¦         y   y'          ¦ 10 ¦ 1 ¦ c)==============-------       ¦ 11 ¦ 1 ¦                                   L----+---- Ситуация "с" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторыелюди(x) суть неговорящие существа(y)"(не-люди тем более не разговари-вают).Универсум - "живые существа". Из таблицы истинности получим соотношение: Ixy = x+ix' (Ixy)' = jx' 6.Шестой вариант суждения Ixy представлен на рисунке.        x'   x  ----------===========       -----T---         y   y'          ¦ xy ¦Ixy¦  ==============-------       +----+---+                                   ¦ 00 ¦ 0 ¦                                   ¦ 01 ¦ 1 ¦                                   ¦ 10 ¦ 1 ¦                                   ¦ 11 ¦ 1 ¦                                   L----+---- Из таблицы получим соотношение: Ixy = x+y (Ixy)' = x'y' 7.Седьмой вариант функтора Ixy выглядит так: x =======--------             -----T--- y1----=====------             ¦ xy ¦Ixy¦ y2=========------             +----+---+ y3---============             ¦ 00 ¦ i ¦                                   ¦ 01 ¦ 1 ¦ Ixy = y+iy'                   ¦ 10 ¦ i ¦ Oxy = jy'                      ¦ 11 ¦ 1 ¦                                   L----+---- Безусловно здесь приведены не все возможные варианты представле-ния силлогистических функторов Ixy.Желающие могут продолжить этот спи-сок. В работе Васильева Н.А. утверждается,что в общеразговорном базисеиз Ixy обязательно следует Ixy',т.е. Ixy -> Ixy'.Попытаемся решить этологическое уравнение с целью синтеза суждения Ixy,удовлетворяющегокритерию Васильева. В результате решения были получены следующие соотношения: 1)Ixy = x 2)Ixy = x+y+x'y' = 1 3)Ixy = x+ix' Первое уравнение не является представлением функтора Ixy,посколь-ку в нем отсутствует вероятностная составляющая;второе уравнение соот-ветствует общеразговорному базису(восьмому по счету),а третье уравне-ние - пятому базису.Общеразговорный базис(базис Васильева) изображенна рисунке.Необходимо отметить,что русский и общеразговорный базисыявляются симметричными базисами,т.е. Ixy -> Iyx.        x'   x  ----------===========    y' y  y'  -----==========------ Вопрос о выборе базиса должен решаться отдельно для каждого конк-ретного силлогизма. Для указания используемого базиса применяется нумерация,состоящаяиз вариантов суждений в порядке Axy-Exy-Ixy.Например,для анализа сил-логизмов в общем(неконкретном) виде автор предпочитает русский базис1-1-2,который описывается следующими соотношениями: Axy = (xy')' Exy = (xy)' Ixy = x+y+ix'y' = x+y+i Этот базис назван автором русским базисом,т.к. он удовлетворяетнекоторым требованиям русского логика Васильева Н.А. относительно на-учного и общеразговорного смысла силлогистического функтора Ixy.Вполнеестественно,что силлогистика,основанная на русском базисе,должна бытьназвана русской силлогистикой.Необходимо отметить,что русский и обще-разговорный базисы являются симметричными базисами,т.е. Ixy -> Iyx. Кстати говоря,так называемые "жергонновы отношения"[19] могутбыть представлены следующими скалярными диаграммами.      x    x'            x'   x ===========----------   ----------===========      y    y'            y    y' ==============-------   ==============-------      y      y'        y' y  y' ===========----------   -----==========------         Axy              y'   y                             -----================     x    x'             y'   y ===========----------   -------------========      y'   y                 Ixy -------------========        Exy                  x'   x                             ----------===========                                   y    y'                             ============---------                               y' y  y'                             -----==========------                                   y'   y                             ------------=========                                       Oxy -----T------ -----T------ -----T------ -----T------ ¦ xy ¦ Axy ¦ ¦ xy ¦ Exy ¦ ¦ xy ¦ Ixy ¦ ¦ xy ¦ Oxy ¦ +----+------+ +----+------+ +----+------+ +----+------+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ i ¦ L----+------- L----+------- L----+------- L----+------- На основе скалярных диаграмм получены таблицы истинности,по кото-рым построены логические функции для базиса Аристотеля-Жергонна. Axy = xy+x'y'+ix'y Exy = (xy)' Ixy = xy+i(x'+y') Oxy = xy'+i(x'+y) Утверждать,что этот базис отражает общеразговорную логику,было быопрометчиво. Полученные соотношения позволяот построить логику без кванторов,префикс-дизъюнктов и префикс-конъюнктов[5].С помощью базисных формулможно выполнять все операции над силлогизмами,т.е. находить аналити-ческое решение задач,связанных с силлогизмами. Для того,чтобы прове-рить заключение,нужно выполнить алгоритм "Осташ".