Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2023-02-03 | 25 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Дифференциальные уравнения вида
где a,b,c – числа, называют линейными неоднородными дифференциальными уравнениями 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
где yо – общее решение однородного уравнения, а yч – какое-нибудь решение неоднородного уравнения (частное решение).
Пример 7. Решить задачу Коши
Решение. Найдем сначала общее решение однородного уравнения
Для этого составим характеристическое уравнение:
Это уравнение имеет два различных вещественных корня:
Следовательно, общим решением однородного уравнения является функция
Найдем теперь какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения
Будем искать его в виде
Тогда
Подставив эти выражения в уравнение, получим:
Теперь можно выписать общее решение неоднородного уравнения:
Вычислим производную:
Воспользовавшись начальными условиями, получим систему уравнений:
Искомое решение задачи Коши имеет вид:
(Как мне кажется, в последней строчке здесь ошибка, т.к. наши найденные C1 и C2 здесь подставили в y’, а не в y)
10. Отыскание частного решения линейных неоднородных ОДУ для правой части специального вида методом неопределенных коэффициентов
Рассмотрим решение линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнений вида
,
где p и q - действительные числа.
Нам уже известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме квадратного трехчлена. В случае уравнения с постоянными коэффициентами общее решение линейного однородного уравнения, как мы уже знаем, находится легко. Остановимся теперь на проблеме отыскания частного решения y* линейного неоднородного уравнения.
|
а) .
Если , то частное решение неоднородного уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:
,
где
- неопределенные коэффициенты.
Отсюда
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, мы получим тождество
,
Откуда
.
Так как , то из последней системы для коэффициентов получаются определенные числовые значения. Тем самым частное решение y* будет вполне определено.
Если , то частное решение y* ищем в виде , когда один из корней характеристического уравнения равен нулю, и в виде
,
когда оба корня характеристического уравнения нули. Аналогично обстоит дело, если f(x) - многочлен P(x) произвольной степени.
б) .
Частное решение ищем в виде
,
где A - неопределенный коэффициент.
Отсюда
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, после сокращения на e bx будем иметь
.
Отсюда видно, что если b не является корнем характеристического уравнения, то
.
Если b - корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде y* = Axebx , когда b - однократный корень, и в виде y* = P(x) ebx , когда b - двукратный корень.
Аналогично будет, если f(x) = P(x) ebx , где P(x) - многочлен.
в) . (a и b не нули одновременно).
В этом случае частное решение y* ищем также в форме тригонометрического двучлена
,
где A и B - неопределенные коэффициенты.
Отсюда
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:
.
Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при и в левой и правой частях этого равенства должны быть соответственно равны друг другу. Поэтому
|
.
Эти уравнения определяют коэффициенты A и B , кроме случая, когда
(или когда - корни характеристического уравнения).
В последнем случае частное решение исходного уравнения ищем в виде
.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!