История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2022-12-20 | 51 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Итак, покажем, наконец, что из существования прямой Эйлера следует существование прямых Нагеля, и наоборот.
Основная теорема
В любом треугольнике существует прямая Эйлера в любом треугольнике существуют прямые Нагеля.
Этот факт следует из следующих пяти утверждений:
Утверждение 7.1
В произвольном остроугольном треугольнике существует прямая Эйлера в любом треугольнике существует прямая Нагеля.
Утверждение 7.2
В произвольном тупоугольном треугольнике существует прямая Эйлера в любом треугольнике существуют добавочные прямые Нагеля.
Утверждение 7.3 (обратное к утверждению 7.1)
В любом треугольнике существует прямая Нагеля в произвольном остроугольном треугольнике существует прямая Эйлера.
Утверждение 7.4 (обратное к утверждению 7.2)
В любом треугольнике существуют добавочные прямые Нагеля в произвольном тупоугольном треугольнике существует прямая Эйлера.
Утверждение 7.5
Существование прямой Эйлера для прямоугольного треугольника вытекает как из утверждения 7.3, так и из утверждения 7.4, являясь предельным случаем их обоих.
Последнее утверждение очевидно. Докажем остальные.
Доказательство утверждения 7.1
Пусть АВС – произвольный треугольник, а - его вневписанный треугольник. Согласно утверждению 3.4.1., вневписанный треугольник всегда остроугольный, и его углы связаны с углами исходного треугольника следующим образом:
, , .
Рассмотрим аффинное преобразование , отображающее треугольник на треугольник АВС . Это преобразование переводит прямые в прямые, и сохраняет барицентрические координаты точки (см. свойство 3.2.4).
Пусть и - соответственно ортоцентр и центр описанной окружности треугольника , а N и I – точка Нагеля и центр вписанной окружности треугольника АВС.
Тогда (см. 3.1.1) и .
Но
,
,
.
А также,
, ,
Однако, как известно (см.3.1.1),
и .
Таким образом, - и мы показали, что прямая Эйлера остроугольного треугольника аффинным преобразованием переводится в прямую Нагеля исходного треугольника АВС.
□
Доказательство утверждения 7.2
Пусть АВС – некоторый тупоугольный треугольник с тупым углом при вершине А, а - его первый добавочный вневписанный треугольник. Согласно утверждению 3.4.2., добавочный вневписанный треугольник всегда тупоугольный, и его углы связаны с углами исходного треугольника следующим образом:
. , ,
Рассмотрим аффинное преобразование , отображающее треугольник на треугольник АВС . Это преобразование переводит прямые в прямые, и сохраняет барицентрические координаты точки (см. свойство 3.2.4).
Пусть и - соответственно ортоцентр и центр описанной окружности треугольника , а и – первая добавочная точка Нагеля и центр соответствующей вневписанной окружности треугольника АВС.
Тогда (см. 3.1.1) и .
Но
, , .
.
А также,
, ,
.
Однако, как известно (см. 3.1.1),
и .
Таким образом, - и мы показали, что прямая Эйлера тупоугольного треугольника аффинным преобразованием переводится в добавочную прямую Нагеля исходного треугольника АВС.
□
Доказательство утверждения 7.3
Пусть АВС – некоторый треугольник, а - его тангенциальный треугольник. Согласно утверждению 3.6.1., его углы связаны с углами исходного остроугольного треугольника следующим образом:
, , .
Рассмотрим аффинное преобразование , отображающее треугольник на треугольник АВС . Это преобразование переводит прямые в прямые, и сохраняет барицентрические координаты точки (см. свойство 3.2.4).
Пусть и - соответственно точка Нагеля и центр вписанной окружности треугольника , а Н и О – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника АВС.
Тогда (см. 3.1.1.) и .
Но
,
,
.
А также,
,
,
.
Однако, как известно (см. 3.1.1),
и .
Таким образом, - и мы показали, что прямая Нагеля треугольника аффинным преобразованием переводится в прямую Эйлера исходного остроугольного треугольника АВС.
□
Доказательство утверждения 7.4
Пусть АВС – некоторый тупоугольный треугольник с тупым углом при вершине А, и - его тангенциальный треугольник. Согласно утверждению 3.6.2., его углы связаны с углами исходного остроугольного треугольника следующим образом:
, , .
Рассмотрим аффинное преобразование , отображающее треугольник на треугольник АВС . Это преобразование переводит прямые в прямые, и сохраняет барицентрические координаты точки (см. свойство 3.2.4).
Пусть и - первая добавочная точка Нагеля и центр соответствующей вневписанной окружности треугольника , а Н и О – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника АВС.
Тогда (см. 3.1.1) и .
Но
,
,
.
А также,
,
,
.
Однако, как известно (см. 3.1.1),
и .
Таким образом, - и мы показали, что добавочная прямая Нагеля треугольника аффинным преобразованием переводится в прямую Эйлера исходного тупоугольного треугольника АВС.
□
Приложение: Кристиан Генрих фон Нагель (1803 – 1882)
(Christian Heinrich von Nagel)
Мы говорили о прямых, названных в честь двух математиков.
Великий Эйлер оставил после себя многотомное собрание сочинений, его творчеству и жизни посвящены разнообразные исследования – при желании их несложно найти и с ними ознакомиться. А вот о Нагеле известно совсем немногое. Краткие биографические сведения удалось почерпнуть на сайте Кимберлинга (см.[3]).
Нижеследующий фрагмент заимствован именно оттуда:
В1821 К. Г. фон Нагель приступил к изучению теологии в Тибингене. В 1825 он удостоен сана священника. Затем в течение четырех лет посещает лекции по математике и физике, которые читают в Университете Тибенгена Боненбергер (J. G. von Bohnenberger) и Рик (F. J. P. Riecke).В декабре 1826 г. Он принят учителем математики и физики (natural science) в Лицей и Реальное Училище (Realschule) Тибенгена и продолжает изучать математику в Университете. В 1830 получает докторскую степень (Ph.D.) (диссертация называлась «De triangulis rectangulis ex algebraica aequatione construendis» (название латинское – можно приблизительно понять, что речь идет о прямоугольных треугольниках и неких алгебраических соотношениях, с ними связанных), а научным руководителем был Боненбергер), и звание приват-доцента. |
Начиная с 19830 занимает должность профессора математики в Гимназии города Ульма. В 1840 заканчивает 400-страничную книгу, озаглавленную «Die Idee der Realschule, nach ihrer theoretischen Begrundung und praktischen Ausfь hrung dargestellt» (что можно перевести с немецкого примерно так: «Реальные Училища -теоретическое обоснование и практическое воплощение»). В 1844 Нагель становится ректором Реального Училища в Ульме и после 25 лет безупречной службы удостаивается титула «почетный гражданин Ульма». В 1875 выходит в отставку.
Шесть работ Нагеля имеются в книге Peter Baptist, Die Entwicklung der Neueren Dreiecksgeometrie, Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1992. (П.Баптист, Развитие современной геометрии треугольника). В одной из этих работ Нагель приводит доказательство существования точек, которые ныне принято называть точками Нагеля и Жергонна. Однако прямую Нагеля сам Нагель, скорее всего, не открывал – во всяком случае, в дошедших до нас его работах она не упоминается. Как бы оно там ни было, прямая названа в честь Нагеля вполне заслуженно – ибо вклад этого ученого в элементарную геометрию весьма существенен.
Список литературы.
[1] Мякишев А. Элементы геометрии треугольника. М.: МЦНМО, 2002.
[2] Прасолов В. Задачи по планиметрии. М.: МЦНМО, 2007.
[3] Kimberling C. Biographical Studies.
[http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/index.html]
[4] Sigur S. Triangle Geometry
http://www.paideiaschool.org/Teacherpages/Steve_Sigur/geometryIndex.htm
[1] Вообще-то в случае равностороннего треугольника все три точки совпадают. Но мы и здесь, и в дальнейшем (в подобных ситуациях) будем считать случай правильного треугольника – предельным и не будем выделять его особо.
[2] Увы, этот замечательный педагог и математик скончался 5 июля 2008 года в возрасте 62 лет. Фигура в американском образовании такого же масштаба, как, например, А.Н. Земляков в российском.
[3] Вспоминается фраза из одной старой детской книжки: «Ежели кит со слоном схлестнутся, то кто кого сборет?» (Не ручаюсь за дословною точность, цитируя по памяти. А книжка, кажется, Льва Кассиля «Швамбрания»).
[4] Особенно последнее из них. Что уж говорить, подобные «аргументы» (а ты кто такой!?) - в природе человека.
[5] Автор статьи на самом деле с глубоким уважением относится ко всем гуманитарным дисциплинам и ко многим их отдельным представителям.
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!