История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
 2022-12-20 |
 30 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Разрабатывая теорию элементарных функций комплексной переменной Леонард Эйлер ввел комплексную переменную в качестве наиболее общего понятия переменной величины. Им в 1748 г. была получена замечательная формула, впоследствии носящая его имя, которая устанавливает связь показательной комплексной функции с тригонометрическими функциями
, 
. (2.24)
Так как модуль 
, то при непрерывном изменении 
точка 
описывает на комплексной плоскости окружность радиуса 
с центром в начале координат. С помощью этой формулы можно возводить число е (основание натуральных логарифмов) в любую комплексную степень.
Справедливы равенства:
, 
, 
. (2.25)
Для произвольной комплексной переменной 
функция
. (2.26)
Используя формулу Эйлера (2.24) и тригонометрическую форму комплексного числа 
(2.13) можно записать равенство 
и получить показательную форму комплексного числа:
. (2.27)
Показательную форму комплексного числа целесообразно использовать при умножении, делении, возведении в степень.
Если 
и 
, то справедливы формулы:
(2.28)
2.6. Условие заданий 1 и 2. Решение типового варианта
Задание 1. Даны два комплексных числа 
и 
, например,
и 
.
1) Найти действительную (Re z) и мнимую (Jmz) части комплексных чисел и ; построить и на комплексной плоскости.
2) Найти 
, 
, 
, 
. Записать числа и в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
3) Вычислить 
, 
, используя алгебраическую форму записи чисел.
|
|
4) Вычислить 
и 
в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
5) Найти 
, используя тригонометрическую форму записи числа.
6) Найти все значения корней 
, выразить их в алгебраической форме. Построить значения корней на комплексной плоскости.
Решение. Оба рассмотренных выше комплексных числа и не представлены в одной из общеприняты форм. Используя формулу (2.4) выразим их в алгебраической форме.
1) 
.
Следовательно, 
, 
.
,
, 
.
2) Изобразим и на комплексной плоскости 
, рис. 5.
Найдем модули комплексных чисел и :
,
.
Рис. 5
Из рис. 5 видно, что находится в III четверти, а - во II-ой.
По определению из (2.12) имеем
,
или 
.
Найдем .
.
Запишем числа в тригонометрической форме:
,
;
в показательной форме:
,
.
3) Запишем и в алгебраической форме:
,
.
4) Вычислим и в алгебраической форме:
,
;
в тригонометрической форме:
,
;
в показательной форме:
,
.
5) Найдем , используя тригонометрическую форму записи числа:
.
6) Найдем все значения , используя тригонометрическую форму, и установим их значения в алгебраической форме. Для этого воспользуемся формулой (2.23).
В нашем случае 
; 
; 
; 
; 
.
Получим значения
, 
,
, 
,
, 
,
, 
.
Строим корни на комплексной плоскости, рис. 6.
Рис. 6
Итак, корень 4-й степени из комплексного числа имеет 4 различных значения, которые располагаются в вершинах правильного 4-х угольника, вписанного в окружность радиусом 
с центром в точке 
.
Варианты задания 1
Вариант 1.
а) 
б) 
Вариант 2.
а) 
б) 
Вариант 3.
а) 
б) 
Вариант 4.
а) 
б) 
Вариант 5.
а) 
б) 
|
|
Вариант 6.
а) 
б) 
Вариант 7.
а) 
б) 
Вариант 8.
а) 
б) 
Вариант 9.
а) 
б)
Вариант 10.
а) 
б) 
Вариант 11.
а) 
б) 
Вариант 12.
а) 
б)
Вариант 13.
а) 
б)
Вариант 14.
а) 
б)
Вариант 15.
а) 
б) 
Вариант 16.
а) 
б) 
Вариант 17.
а) 
б) 
Вариант 18.
а) 
б) 
Вариант 19.
а) 
б)
Вариант 20.
а) 
б) 
Вариант 21.
а) 
б) 
Вариант 22.
а) 
б) 
Вариант 23.
а) б)
Вариант 24.
а) 
б) 
Вариант 25.
а) 
б) 
Вариант 26.
а) 
б) 
Вариант 27.
а) б) 
Вариант 28.
а) 
б) 
Вариант 29.
а) 
б) 
|
|
Вариант 30.
а) 
б) 
Задание 2. Вычислить значения приведенных выражений а); б).
Пример: 
Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 4. Вариант 5. Вариант 6.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 7. Вариант 8. Вариант 9.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 10. Вариант 11. Вариант 12.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 13. Вариант 14. Вариант 15.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 16. Вариант 17. Вариант 18.
а) 
а) а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 19. Вариант 20. Вариант 21.
а) а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
|
|
Вариант 22. Вариант 23. Вариант 24.
а) а) 
а) 
б) б) 
б) 
Вариант 25. Вариант 26. Вариант 27.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 28. Вариант 29. Вариант 30.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Задание 3.
Найти корни приведенных выражений а); б).
Пример: а) 
; б) 
;
1) Решение: 
, 
.
,
.
Ответ: ;
2) Решение: 
,
Запишем число 
в тригонометрической форме:
Тогда 
,
,
,
,
Вариант 1 Вариант 2
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 3 Вариант 4
а) 
б) 
а) 
б)
Вариант 5 Вариант 6
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 7 Вариант 8
а) 
б) а) 
б) 
Вариант 9 Вариант 10
а) б) 
а) 
б) 
Вариант 11 Вариант 12
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 13 Вариант 14
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 15 Вариант 16
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 17 Вариант 18
а) 
б) 
а) 
б) 
|
|
Вариант 19 Вариант 20
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 21 Вариант 22
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 23 Вариант 24
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 25 Вариант 26
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 27 Вариант 28
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 29 Вариант 30
а) 
б) 
а) 
б) 
Библиографический список
1. Рыбников К.А История математики. – М.: Издательство МГУ, 1994. -496 с.
2. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975 - 158 с.
3. Жевержеев В.Ф., Кальницкий Л.А., Сапогов Н.А. Специальный курс высшей математики для вузов. – М.: Высшая школа, 1970 – 416 с.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1984 – 432 с.
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989 – 656 с.
6. Мантуров О.В. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1996 – 448 с.
7. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2 – Мн.: Высшая школа, 1991. – 352 с.
|
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!