Разностные методы решения задач прикладной механики

МОДУЛЬ 2

Разностные методы решения задач прикладной механики

ОГЛАВЛЕНИЕ

МОДУЛЬ 2. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ………203

1.1. Комплексная цель модуля…………………………………………………………………..203

1.2. Введение…………………………………………………………………………………….203

1.3. Система уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного

газа…………………………………………………………………………………………..204

1.4. Разностные схемы для модельных уравнений……………………………………………...235

1.5. Методы построения схем повышенного порядка аппроксимации………………………...242

1.6. Разностные схемы для системы уравнений газовой динамики……………………………247

1.7. Разностные схемы для полной системы уравнений Навье-Стокса………………………...257

1.8. Заключение……………………………………………………………………..280

1.9. Проектное задание………………………………………………………………………….281

1.10. Тест рубежного контроля………………………………………………………………..283

 

Применяются основные методы теории разностных схем для построения и исследования задач механики. В качестве дискретных моделей рассматриваются схемы, аппроксимирующие систему уравнений Навье-Стокса и ее упрощенные аналоги.

Комплексная цель модуля

Изучить приложения теории разностных методов. Механика жидкости и газа один из разделов прикладной математики в котором широко используют численные расчеты. Помимо исследования основных свойств дискретных моделей появляются новые свойства разностных схем, характерные для задач механики. 

Введение

 

Вычислительная механика представляет один из современных разделов прикладных численных методов. 

В модуле для различных физических моделей строятся разностные аналоги. Исследуются свойства построенных дискретных уравнений. Выделяются классы разностных схем второго порядка аппроксимации, классы безусловно устойчивых разностных схем.

Основные разделы модуля (с четвертого по седьмой) содержат конечно-разностные методы решения задач прикладной механики. Определяются основные понятия теории разностных схем и исследуются наиболее распространенные в механике разностные и итерационные схемы решения стационарных и нестационарных задач. Исследование проведено сначала для модельных уравнений, а затем обобщено на системы одномерных и многомерных уравнений газовой динамики, полные и упрощенные системы уравнений сжимаемого теплопроводного газа.

Схемы расщепления по пространственным переменным и физическим процессам для уравнения недивергентной формы

.                               (1)

 

Из уравнения (1) имеем

 

 

 – по пространственным переменным

 

 

 

.

.

 

.

 

В зависимости от выбора вектора состояний получаем различные матрицы  и различные цепочки расщепленных операторов.

 

Разностные схемы с весами

    Рассмотрим уравнение (2)

.                                       (2)

 Для его численной реализации используем схему с весами

 – схема явная.

 – схема неявная.

Порядок аппроксимации: .

Когда , то , то есть порядок аппроксимации схемы .

При всех остальных  – схема первого порядка. Расписывая более подробно разностное уравнение

где

 

и преобразуя его к трехточечному виду получаем:

.

    В нашем случае прогоночные коэффициенты:

    Достаточное условие корректности и устойчивости метода прогонки (условие диагонального преобладания): , и одно из неравенств должно быть строгим.

    В нашем случае, получим:

.

    Рассмотрим только конвективные члены ():

 – Получили даже в неявной схеме условие Куранта.

    Чтобы избежать этого ограничения, необходимо аппроксимировать не центральными разностями, а односторонними.

    Исследуем условие устойчивости схемы.

    В прежних обозначениях имеем:

.

.

.

    При  схема становится безусловно устойчивой.

 

Заключение по модулю

 

       Второй модуль учебника носит прикладной характер. Основные методы теории разностных схем апробируются на задачах механики. Показано, как применяя разностный подход можно численно исследовать реальные физические модели.

При изложении материала данного модуля использовались разделы вычислительной механики, в частности аэродинамики, а также раздел механики жидкости и газа.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1) Физико-математическая постановка задачи.

2) Безразмерные величины. Критерии подобия.

3) Упрощенные модели системы уравнений Навье- Стокса..

4) Схема Лакса первого и второго порядка аппроксимации.

5) Разностная схема с весами для линейного и нелинейного уравнений.

6) Дисперсионные и диссипативные свойства разностных схем.

7) Схемы приближенной факторизации.

8) Монотонные разностные схемы.

9) Схемы с несогласованным стабилизирующим оператором.

10) Схемы для системы уравнений газовой динамики.

 

1.9. Проектное задание

 

 

 Контрольная работа №1

 

1. Исследовать порядок аппроксимации и устойчивость следующих разностных схем линейных одномерных уравнений газовой динамики:

где  и .

Ответ: условно-устойчивая.

          , ,

где

 Контрольная работа №2

 

1. Исследовать порядок аппроксимации и устойчивость следующих разностных схем линейных одномерных уравнений газовой динамики:

где  и .

Ответ: безусловно-устойчивая.

          , ,

 

Контрольная работа №3

 

1. Исследовать порядок аппроксимации и устойчивость следующих разностных схем линейных одномерных уравнений газовой динамики:

где  и – сопряженный оператор.

Ответ: условно-устойчивая.

          ,

          при  схема устойчивая, если .

Контрольная работа №4

 

1. Исследовать порядок аппроксимации и устойчивость следующих разностных схем линейных одномерных уравнений газовой динамики:

где  и – сопряженный оператор.

Ответ: условно-устойчивая.

Безусловно-устойчивая лишь для сверхзвуковых течений

 

Тест рубежного контроля

 

1) Вопрос: какое течение жидкости описывается матрицей инерциальных сил:

         1. Вязкое       2. Турбулентное      3.  Слабомолекулярное

 

2) Вопрос: от числа Маха зависит:

 

      1. Скорость течения жидкости

 

        2.  Физико – математические характеристики потока

  

        3. Оба первых два случая

 

3) Вопрос: матрица Якоби используется для:

 

      1. Нахождения решения системы уравнений

 

     2. Преобразования системы уравнений в недивергентную форму

 

     3. Обезразмеривания переменных

 

4) Вопрос: в асимптотическом разложении уравнений Навье – Стокса по малому параметру первым приближением содержащем малый параметр в нулевой степени является:

 

       1. Система уравнений вязкого ударного газа

 

        2. Система обобщенных уравнений Прандтля

 

        3. Система уравнений погранслоя

 

5) Вопрос: достаточным условием корректности и устойчивости метода прогонки является:

 

        1. Не отрицательность коэффициентов матрицы

 

         2. Условие диагонального преобладания

 

         3. Не обращение в ноль прогоночных коэффициентов

 

6) Вопрос: построить схемы повышенного порядка аппроксимации можно:

 

          1. С помощью многосеточных методов

 

           2. С помощью выбора специального оператора усреднения

 

           3. Используя оба метода

 

7) Вопрос: операторы  и  являются перестановочными если

 

            1. Они равны

 

            2. =

 

            3.  = 1

 

 8) Вопрос: процесс расщепления схемы необходим для:

              1. Для повышения порядка аппроксимации.

              2. Для построения эффективного алгоритма.

              3. Для улучшения устойчивости схемы.

 

 9) Вопрос: При линеаризации разностной схемы получается:

              1. Схема повышенного порядка аппроксимации.

              2. Монотонная схема.

              3. Схема реализующаяся методом прогонки.

 

10) Вопрос: Какие схемы называются безусловно устойчивыми:

              1. Схемы расщепления.

              2. Схемы у которых правая часть более высокого порядка                                                

                 аппроксимации.

              3. Схемы у которых шаг по времени не зависит от шага по

                 пространству.

 

Бланк правильных ответов

 

№ вопрс. / № отв.	1	2	3
1			*
2			*
3		*
4			*
5		*
6			*
7		*
8		*
9			*
10			*

 

 

Оценка: за девять или десять правильных ответов – отлично.

           За семь правильных ответов - хорошо.

           За шесть правильных ответов – удовлетворительно.

           Остальное число ответов оценивается неудовлетворительно

МОДУЛЬ 2

Разностные методы решения задач прикладной механики

ОГЛАВЛЕНИЕ

МОДУЛЬ 2. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ………203

1.1. Комплексная цель модуля…………………………………………………………………..203

1.2. Введение…………………………………………………………………………………….203

1.3. Система уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного

газа…………………………………………………………………………………………..204

1.4. Разностные схемы для модельных уравнений……………………………………………...235

1.5. Методы построения схем повышенного порядка аппроксимации………………………...242

1.6. Разностные схемы для системы уравнений газовой динамики……………………………247

1.7. Разностные схемы для полной системы уравнений Навье-Стокса………………………...257

1.8. Заключение……………………………………………………………………..280

1.9. Проектное задание………………………………………………………………………….281

1.10. Тест рубежного контроля………………………………………………………………..283

 

Применяются основные методы теории разностных схем для построения и исследования задач механики. В качестве дискретных моделей рассматриваются схемы, аппроксимирующие систему уравнений Навье-Стокса и ее упрощенные аналоги.

Комплексная цель модуля

Изучить приложения теории разностных методов. Механика жидкости и газа один из разделов прикладной математики в котором широко используют численные расчеты. Помимо исследования основных свойств дискретных моделей появляются новые свойства разностных схем, характерные для задач механики. 

Введение

 

Вычислительная механика представляет один из современных разделов прикладных численных методов. 

В модуле для различных физических моделей строятся разностные аналоги. Исследуются свойства построенных дискретных уравнений. Выделяются классы разностных схем второго порядка аппроксимации, классы безусловно устойчивых разностных схем.

Основные разделы модуля (с четвертого по седьмой) содержат конечно-разностные методы решения задач прикладной механики. Определяются основные понятия теории разностных схем и исследуются наиболее распространенные в механике разностные и итерационные схемы решения стационарных и нестационарных задач. Исследование проведено сначала для модельных уравнений, а затем обобщено на системы одномерных и многомерных уравнений газовой динамики, полные и упрощенные системы уравнений сжимаемого теплопроводного газа.