Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2022-10-29 | 46 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим разностную задачу, содержащую оператор левой разностной производной.
(1) ,
(2) .
Корректность задачи Коши для разностного уравнения I-го порядка.
Выразим из (1)
,
, следовательно,
.
Так как , то можно взять максимум от всех .
, получаем:
.
Таким образом, задача (1), (2) устойчива по начальным данным и правой части.
Свойства оператора левой разностной производной.
(1) ,
(2) .
I. Задачу (1), (2) можно переформулировать таким образом, что:
(3)
(4)
Задачу (3), (4) перепишем в виде:
;
;
.
Для практических нужд полезно построить оператор сопряженный к .
Явное выражение этого оператора чрезвычайно важно.
Опр. 1
Оператор : , называется сопряженным к оператору , если выполняется следующее условие
Для этого рассмотрим скалярное произведение вида:
.
Таким образом, пришли к следующему равенству:
(5) .
Заметим, что - оператор правой разностной производной.
Введем оператор правой разностной производной:
(6)
Равенство (5) с учетом соотношения (6) означает, что для оператора левой разностной производной сопряженным является минус оператор правой разностной производной.
Итак,
(7) (8)
(9) .
Известно, что любой линейный оператор в гильбертовом пространстве сеточных функций можно представить в виде суммы его кососимметрической и самосопряженной частей, т.е.
(10) , (11) .
__________________________________________________________
‼ Показать, что если (11), то .
__________________________________________________________
Построим , привлекая в качестве оператора , оператор , задаваемый по формуле (7).
, следовательно,
(12)
.
Таким образом, мы получили признак кососимметричности оператора:
.
Поэтому оператор, задаваемый равенством (12), является кососимметрическим. Это означает:
|
(13) , а следовательно,
(14) .
Вернемся к соотношению (12). Из него следует, что оператор разностной производной второго порядка является кососимметрическим, если в граничных узлах он определен таким образом.
Возможна и другая интерпретация соотношения (12). Оператор А можно считать определенным на расширенной сетке , для которой , .
II. Покажем, что оператор является положительно определенным, точнее положительным, т.е. .
Для этого для любой сеточной функции необходимо доказать неравенство: .
Воспользуемся формулой (7).
что и требовалось доказать.
Кроме того, было получено соотношение:
(15) .
Каноническая форма двухслойных схем и
Ее применение к исследованию устойчивости
Необходимость введения двухслойных схем вызвана дискретизацией и исследованием эволюционных задач, которые можно записать в виде:
(1) ;
(2) , где .
- дифференциальный оператор.
(3) .
Для дискретизации задачи (1), (2) неудобно использовать выражение вида (3), т.к. переменная является выделенной в выражении (1), и аппроксимация будет, как минимум, двухточечного шаблона.
Так мы приходим к понятию двухслойной разностной схемы.
Каноническая форма.
Пусть Н конечномерное вещественное гильбертово пространство и .
Обозначим через и линейные операторы, переводящие .
Операторы и , например, это операторы разностных производных по пространственным переменным. В общем случае они могут зависеть от .
Пусть - векторный параметр, от которого зависят операторы и . Считаем, что фиксирован.
Рассмотрим абстрактную задачу Коши операторно-разностного типа.
(4) ;
(5) .
Можно считать, что задача (4), (5) будет дискретным аналогом задачи (1), (2), если выбрать операторы и подходящим образом: .
В уравнении (4) предполагается известными параметр , функция , заданными и функция .
Считаем, что операторы явно не зависят от . Также считаем, что оператор обратим, т.е. существует . Условие гарантирует обратимость оператора; , где - гильбертово пространство сеточных функций.
|
Рассмотрим теперь задачу (4), (5).
Опр. 1 Двухслойной схемы.
Поставленная выше операторно-разностная задача Коши (4), (5) называется двухслойной схемой, записанной в канонической форме.
Это семейство задач Коши зависящих от параметра .
Введем оператор перехода через все остальные функции, предполагая обратимость оператора В.
;
.
При достаточно малых значениях параметра можно определить оператор называемый оператором перехода.
Введем также обозначения:
; ; ;
; ; .
Тогда схему (4), (5) можно записать в виде:
(6) ;
(7) .
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!