Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2022-10-29 | 37 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Однородное уравнение с неоднородными граничными условиями , , , где - заданная функция из исходного семейства обладает свойством: ,
т.е. максимальное по модулю значение функции являющейся решением задачи (2), (3) достигается на границе сетки .
Доказательство.
Результат прямо следует из теоремы 1, т.к. для задачи (2), (3) справедливы одновременно случай 1) и 2) теоремы 1.
1) , следовательно наибольшее положительное значение достигается на границе сетки .
2) , следовательно наименьшее отрицательное значение достигается на границе сетки .
Также для следствия 1 можно сформулировать его аналог для .
Следствие 1′.
Пусть дано однородное уравнение из исходного семейства вида:
(4) , с граничным условием Дирихле:
(5) , .
Тогда решение задачи (4), (5) не положительно на , т.е. .
Теорема сравнения. Мажоранта
Теорема 2.
Пусть поставлена задача (I) с уравнением из исходного семейства вида:
(1) ;
(2) .
А также поставлена задача (II):
(3) ;
(4)
и выполняются неравенства:
(5′) ,
то
( 5)
Замечание.
Введем обозначение: , .
Т.о. неравенство (5) можно переписать в виде: .
Задачу (3), (4) называют мажорирующей по отношению к задаче (1), (2).
- мажоранта по отношению к .
Доказательство.
Зададим сеточные функции:
(6) ;
(7) .
Нетрудно видеть, что
В силу линейности оператора , получаем:
(8)
(9) .
Задача с учетом (8), (9) может быть записана в виде:
(10) ;
(11) .
Задача (10), (11) удовлетворяет следствию теоремы 1:
в силу (5′), и граничное условие .
Следовательно, .
Аналогично функция .
Вычитая (1) из (3), (2) из (4), и пользуясь линейностью оператора, получаем:
(12) ;
(13) .
Таким образом, получаем аналогичную задачу для функции .
|
Итак
(14) , с другой стороны
(15)
, что и требовалось доказать.
Следствие из теоремы сравнения
Следствие 1. Оценка решения однородной задачи.
Пусть поставлена задача из исходного семейства:
(1) ;
(2)
Тогда для нормы решения этой задачи справедлива оценка:
(3) ,
также справедлива оценка:
Доказательство.
Для задачи (1), (2) построим мажорирующую задачу вида:
(3.1) ;
(4) ;
правые части (3.1) и (1) удовлетворяют неравенству:
, по теореме сравнения .
Если удастся доказать, что , то требуемый результат будет доказан.
Воспользуемся следствием 4 из теоремы 1, в соответствии с которым для задачи (3.1), (4) справедлива оценка:
и следовательно, .
Доказательство проведено в условиях применимости теоремы 1, т.е. . Рассмотрим в данном следствии второй случай, когда .
В силу равенства (4) и из последнего равенства получаем, что , что и требовалось доказать.
Более того, можно доказать,что если поставлена задача (3.1), (4), взяв обобщение (4)
и , будет следовать, что .
Доказанное следствие будет далее использовано для оценки решения неоднородного уравнения с оператором вида:
(5) ,
(6) .
Решение задачи (5), (6) может быть получено в виде двух функций:
,
где - решение задачи:
(7) ;
(8) ,
- решение задачи:
(9) ;
(10) .
Поскольку оценка для задачи (7), (8) была получена в следствии 1, то перейдем к оценки решения задачи (9), (10).
Оценка решения неоднородного уравнения
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!