Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2022-10-29 | 22 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
.
.
Если выбрать произвольную гладкую функцию , то нетрудно показать, что
и эта оценка не улучшаема.
Однако если рассматривать функцию - решение задачи (1), (2):
. (1)
, (2)
то оценка может быть улучшена.
Рассмотрим и покажем что:
. (*)
. (3)
Так как
. (4)
и
,
то
. (5)
Подставим (4) и (5) в (3) получим:
.
Вспоминая, что
получаем
. (6)
Здесь .
Преобразуем разностное граничное условие х=0 с учетом (6).
.
Поскольку граничное условие
,
то мы получаем:
. (7)
. (8)
. (9)
Подставим (8), (9) в (7).
. (10)
Выражение представляет собой левую часть дифференциального уравнения (1) которая выполняется и для х=0
.
Условие на правой границе задается точно и в исследовании не нуждается.
В итоге получаем оценку (*) к которой мы и стремились.
1.4.5. Понятие о погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы на примере краевой задачи для ОДУ второго порядка
Ранее интегро – интерполяционным методом была построена модель, состоящая из разностных уравнений:
. (1)
. (2)
Решение этой задачи есть вектор .
- решение задачи с непрерывным оператором.
Пользователю важно знать погрешность, введем ее как
. (3)
Мы имеем семейство задач (1-2) которые зависят от как от параметра, размерность решения устремляется к бесконечности, если устремить шаг к нулю.
|
Подставим выражение (3) в задачу (1) и (2).
. (4)
. (5)
Заметим, что все разностные операторы являются линейными(, числа )
. (6)
. (7)
- решение дискретной задачи,
- решение непрерывной задачи.
Разностное граничное условие (5) запишется в виде:
, (8)
, (9)
. (10)
Задача для погрешности (6), (8), (10) поставлена.
Перед тем, как провести рассуждения относительно погрешности, сформулируем определение сходимости разностного решения.
Определение Локальной сходимости.
Решение разностной задачи сходится к решению непрерывной задачи с порядком m>0 в точке , если , h – шаг сетки.
На практике используют понятие глобальной сходимости или сходимости по норме. Это в свое время требует введения какой-либо нормы в пространстве функций, определенных на сетке.
или
введем определение глобальной сходимости решения разностной задачи.
Определение Глобальной сходимости.
Решение разностной задачи сходится к решению непрерывной задачи с порядком m>0, если
,
где
- определена на сетке, .
Структура задачи (6), (8), (10) совпадает со структурой задачи (1), (2), поэтому целесообразны следующие утверждения.
Определение. Разностная схема (1), (2) устойчива по правой части и граничному условию, если для произвольных правых частей , для любых шагов сетки справедливо неравенство:
, где М= const>0 не зависящая от h. (12)
Оценки вида (12) называют априорными. Получением такого вида оценок занимается теория устойчивости.
Предположим, что оценка вида (12) для задачи (1), (2) выполняется. Тогда сразу следует сходимость разностной задачи (1), (2) к решению непрерывной задачи (1), (2) из параграфа 1, если функция решения спроектирована в .
|
В соответствии с оценкой (12) для задачи (6)-(10) справедливо неравенство:
.
Ранее было показано, что , поэтому
.
Более общее утверждение называемое теоремой Лакса – Филиппова.
Теорема Лакса – Филиппова. Для линейных разностных задач из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, причем скорость сходимости m совпадает с порядком аппроксимации .
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!