Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2022-10-28 | 35 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Тригонометрические функции.
Специфика взятия интегралов, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции, заключается в большом разнообразии возможных приёмов интегрирования. Это обусловлено таким же большим разнообразием тригонометрических формул, с помощью которых можно представить одну и ту же тригонометрическую функцию.
Ниже мы рассмотрим наиболее часто используемые приёмы для решения таких интегралов, а пользователь может по своему усмотрению применять тот или другой приём для решения интегралов из своего задания.
6.1. Интегралы типа , .
а) вариант (нечётная степень): . Подход к этим интегралам одинаковый, поэтому сначала рассмотрим, например, интеграл . Перепишем его в другой форме: . Очевидна замена: . Тогда . После раскрытия скобок для соответствующего значения искомый интеграл приводится к алгебраической сумме интегралов от степенной функции. Аналогично решается и интеграл с той лишь разницей, что заменяется .
Пример 12.
Рецепт. Вводим замену . = . После обратной подстановки получаем решение:
б) вариант (чётная степень): .
Для данных интегралов используется другая схема: с помощью известных в тригонометрии формул и вдвое понижается степень и во столько же раз возрастает значение аргумента. Интеграл преобразуется в алгебраическую сумму интегралов от в соответствующей степени (но отнюдь не обязательно!). Для интегралов с этой функцией в нечётной степени применяем способ из Примера 11, а для случая с чётной степенью – нужно ещё раз удвоить аргумент и т.д.
Пример 13.
Рецепт. С помощью приведённых выше формул преобразуем интеграл:
|
.
6.2. Интегралы типа
Интегралы этого типа несколько сложнее интегралов из предыдущего раздела. Возможны, естественно, три варианта:
а) один из показателей степени нечётный, другой─ чётный, т.е.
либо , либо , где и ─ целые числа.
Рассмотрим, например, первый вариант и преобразуем интеграл к виду: . Вид последних двух сомножителей наводит на очевидную мысль, что необходимо ввести замену и воспользоваться основным тригонометрическим тождеством . Тогда интеграл примет вид: .
Раскрывая скобки для соответствующих степеней, получаем сумму интегралов от степенной функции.
Пример 14.
Рецепт. Вводим замену и получаем . Обратная подстановка приводит к окончательному ответу .
б ) оба показателя чётные: . Тогда с помощью формул и интеграл преобразуется: . Раскрываем скобки и получаем алгебраическую сумму табличных интегралов.
Пример 15.
Рецепт 1. Используя преобразования, описанные выше, получим интеграл
. Здесь . Используем замену: . Тогда . Сделаем обратную подстановку и получим желанное решение: .
Рецепт 2. Можно использовать и другой путь: . Тогда подынтегральная функция получит следующий вид: = , а сам интеграл: = = - = - = .
Совпадение конечного результата по обоим рецептам свидельствует о правильности альтернатив решения одного и того же интеграла.
в) и, наконец, третий вариант – оба показателя нечётные:
. Преобразуем интеграл к виду: . Снова воспользуемся формулами удвоенного аргумента функции косинуса: . Очевидно, что напрашивается замена: : тогда интеграл принимает вид: . Снова интеграл доведён до состояния, когда его можно представить в виде алгебраической суммы табличных интегралов.
Пример 16
Рецепт. Используем преобразования, описанные выше, и получаем интеграл
. Замена:
преобразует интеграл
. После обратной подстановки имеем решение .
Каждый из этих трёх вариантов решения требует своего подхода. Но есть ещё один приём:
|
г) «универсальная тригонометрическая подстановка» , для которой находим дифференциал Отсюда Применим этот приём к уже знакомому интегралу из Примера 11 . Подставив введённые выше выражения для и , получаем интеграл: Очевидно, что теперь можно использовать «метод неопределённых коэффициентов»: Решаем простую систему линейных уравнений: . Результат: Продолжим решение интеграла: = Возвращая этот результат в исходный интеграл и делая обратную подстановку, получаем Сравните этот результат с результатом Примера 11 и проверьте, нет ли расхождения.
N.B.! Имеются данные [1], что использование «универсальной подстановки» может привести к громоздким преобразованиям, что несколько снижает его ценность.
6.3. Интегралы типа
Поверхностный взгляд на подынтегральные функции данной группы вызывает очевидные ассоциации с формулами и . Вспомним, что:
Рассмотрим для примера решение интеграла . Для него подходит первая из этих формул. В результате такого преобразования решением этого интеграла будет
.
Аналогично решаются и остальные интегралы.
Пример 17.
Рецепт. Применив одну из ранее приведённых формул, получаем решение:
.
6.4. Интегралы типа
Такого рода интегралы сводятся к табличным интегралам простой подстановкой: для первого интеграла и - для второго.
Пример 18.
Рецепт. Используем замену и получаем решение = . После обратной подстановки получаем решение: .
Пример 19.
Рецепт. Ранее был рассмотрен интеграл , поэтому данный интеграл решаем рассмотренным ранее методом «по частям»:
Нетрудно заметить, что мы снова имеем рекурсию. Отсюда искомый интеграл
6.5. Интегралы типа .
К таким интегралам наиболее эффективно (а зачастую – единственным образом) применение описанной выше «универсальной подстановки»:
Вспомним, что , , и (см. стр. 16) . Тогда интеграл примет вид: = = = .
В зависимости от конкретного сочетания значений коэффициентов получаем два основных исхода (с вариациями):
1. см. Пример 4.
2. . Этот случай, в свою очередь, распадается в зависимости от знака дискриминанта знаменателя = на два варианта:
2а: ─ см. Пример 3;
2б: ─ см. Пример 9.
Рассмотрим конкретный пример:
Пример 20. .
Рецепт. Здесь , , , = .
Согласно вышеприведённой формуле с использованием универсальной подстановки данный интеграл получает вид = = . Значение дискриминанта . Тогда корни трёхчлена знаменателя вычисляем по формуле = . В соответствии с методом «неопределённых коэффициентов» =
|
= . Отсюда имеем систему двух линейных уравнений для коэффициентов и : . Тогда и , а = . Обратная подстановка даёт конечный ответ +С.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!