Вероятностная модель порождения данных

А. И. Орлов

О применении статистических методов в медико-биологических исследованиях

 

ВНИИ стандартизации Государственного комитета СССР по стандартам, Москва

 

Статистические методы применяются в большинстве научных работ в области медицины и биологии.

Началом современного этапа теории статистических методов - математической статистики - можно считать основание К. Пирсоном (К. Pearson) в 1900 г. журнала “Biometrika”. В настоящее время в медико-биологических исследованиях используются статистические методы, разработанные в основном в первой трети XX века. Однако математическая статистика бурно развивалась и в последующие 50 лет [II]. Кроме решения новых задач, изучались свойства традиционных статистических методов, предлагались новые методы для применения в классических постановках.

 

1. Задача проверки однородности

В ряде ситуаций назрела необходимость перехода от классических методов к современным. В качестве примера, разбор которого составляет основное содержание настоящей статьи, рассмотрим задачу проверки однородности двух выборок. Типичная постановка задачи в медицинских терминах такова: “Обследовано 75 больных с острым аппендицитом. Из них у 40 больных был катаральный аппендицит, а у 35 - флегмонозный. Необходимо определить, соответствует ли увеличение лейкоцитоза степени поражения аппендикса” [8].

В математико-статистических терминах постановка задачи такова: имеются две выборки x ₁, x₂,..., x_m и y ₁, y ₂,..., y_n (т. е. наборы из m и п действительных чисел), требуется проверить их однородность. Термин “однородность” уточняется ниже. Противоположным понятием является “различие”. Можно переформулировать задачу: требуется проверить, есть ли различие между выборками. Если различия нет, то для дальнейшего изучения часто выборки объединяют.

В процитированном примере с аппендицитом первая выборка - значения лейкоцитоза у больных с катаральным аппендицитом, m=40, вторая - его значения у больных с флегмонозным аппендицитом, n=35.

 

2. Традиционный метод проверки однородности (критерий Стьюдента)

Для дальнейшего критического разбора опишем традиционный статистический метод проверки однородности. Вычисляют средние арифметические в каждой выборке

затем выборочные дисперсии

и статистику Стьюдента t, на основе которой принимают решение,

(1)

По заданному уровню значимости к a и числу степеней свободы (m+n-2) из таблиц распределения Стьюдента находят критическое значение t_кр. Если |t|>t_кр, то гипотезу однородности (отсутствия различия) отклоняют, если же |t| < t_кр, то принимают. (При односторонних альтернативных гипотезах вместо условия |t|>t_кр проверяют, что t>t_кр; эту постановку рассматривать не будем, так как в ней нет принципиальных отличий от обсуждаемой нами.)

Рассмотрим условия применимости традиционного метода проверки однородности, основанного на использовании статистики t Стьюдента, а также укажем более современные методы.

 

А. И. Орлов

О применении статистических методов в медико-биологических исследованиях

 

ВНИИ стандартизации Государственного комитета СССР по стандартам, Москва

 

Статистические методы применяются в большинстве научных работ в области медицины и биологии.

Началом современного этапа теории статистических методов - математической статистики - можно считать основание К. Пирсоном (К. Pearson) в 1900 г. журнала “Biometrika”. В настоящее время в медико-биологических исследованиях используются статистические методы, разработанные в основном в первой трети XX века. Однако математическая статистика бурно развивалась и в последующие 50 лет [II]. Кроме решения новых задач, изучались свойства традиционных статистических методов, предлагались новые методы для применения в классических постановках.

 

1. Задача проверки однородности

В ряде ситуаций назрела необходимость перехода от классических методов к современным. В качестве примера, разбор которого составляет основное содержание настоящей статьи, рассмотрим задачу проверки однородности двух выборок. Типичная постановка задачи в медицинских терминах такова: “Обследовано 75 больных с острым аппендицитом. Из них у 40 больных был катаральный аппендицит, а у 35 - флегмонозный. Необходимо определить, соответствует ли увеличение лейкоцитоза степени поражения аппендикса” [8].

В математико-статистических терминах постановка задачи такова: имеются две выборки x ₁, x₂,..., x_m и y ₁, y ₂,..., y_n (т. е. наборы из m и п действительных чисел), требуется проверить их однородность. Термин “однородность” уточняется ниже. Противоположным понятием является “различие”. Можно переформулировать задачу: требуется проверить, есть ли различие между выборками. Если различия нет, то для дальнейшего изучения часто выборки объединяют.

В процитированном примере с аппендицитом первая выборка - значения лейкоцитоза у больных с катаральным аппендицитом, m=40, вторая - его значения у больных с флегмонозным аппендицитом, n=35.

 

2. Традиционный метод проверки однородности (критерий Стьюдента)

Для дальнейшего критического разбора опишем традиционный статистический метод проверки однородности. Вычисляют средние арифметические в каждой выборке

затем выборочные дисперсии

и статистику Стьюдента t, на основе которой принимают решение,

(1)

По заданному уровню значимости к a и числу степеней свободы (m+n-2) из таблиц распределения Стьюдента находят критическое значение t_кр. Если |t|>t_кр, то гипотезу однородности (отсутствия различия) отклоняют, если же |t| < t_кр, то принимают. (При односторонних альтернативных гипотезах вместо условия |t|>t_кр проверяют, что t>t_кр; эту постановку рассматривать не будем, так как в ней нет принципиальных отличий от обсуждаемой нами.)

Рассмотрим условия применимости традиционного метода проверки однородности, основанного на использовании статистики t Стьюдента, а также укажем более современные методы.

 

Вероятностная модель порождения данных

Для обоснованного применения математико-статистических методов необходимо прежде всего построить и обосновать вероятностную модель порождения данных. При проверке однородности двух выборок общепринята модель, в которой x ₁, x₂,..., x_m рассматриваются как результаты m независимых наблюдений некоторой случайной величины Х с функцией распределения F (x), неизвестной статистику, а y ₁, y ₂,..., y_n - как результаты п независимых наблюдений, вообще говоря, другой случайной величины Y с функцией распределения G (x), также неизвестной статистику. Предполагается также, что наблюдения в одной выборке не зависят от наблюдений в другой.

Возможность применения модели в конкретной реальной ситуации требует обоснования. Независимость и одинаковая распределенность результатов наблюдений, входящих в выборку, могут быть установлены или исходя из методики проведения конкретных наблюдений, или путем проверки статистических гипотез независимости и одинаковой распределенности с помощью соответствующих критериев [1, 2, 5].

Бели наблюдались (т+п) различных больных, то описанную выше модель, как правило, можно применять. Если же, например, x_i и y_i - результаты наблюдения одного и того же больного до и после определенного лечебного воздействия, то рассматриваемую модель применять нельзя. (В этом случае Обычно строят выборку z_i = x_i - y_i и используют статистические методы анализа одной выборки, а не двух.)

При дальнейшем изложении принимаем описанную выше вероятностную модель двух выборок.