Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2022-10-11 | 27 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если функции в правых частях непрерывны по всем своим аргументам и их частные производные непрерывны по неизвестным функциям xi (i=1,2,3,…..,n), то существует единственное решение системы
x1(t), x2(t), x3(t),………., xn(t), (39)
удовлетворяющее начальным условиям
x1(t0)=x10, x2(t0) =x20, x3(t0) =x30,………., xn(t0) =xn0 (i=1, 2,….., n). (40)
Решениесистемы дифференциальных уравнений x1(t), x2(t), x3(t),………., xn(t) являетсяn-мерной вектор-функцией, обозначаемой . Тогда система (38) может быть записана в виде
(41)
где – вектор-функция с координатамиf1,f2,……,fn, а начальные условия в виде , где есть n-мерный вектор с координатами x10, x20, x30,………., xn0.
Решениесистемы дифференциальных уравнений (39) определяет в евклидовом пространстве с координатами t, x1, x2, x3,………., xn некоторую кривую, называемую интегральной кривой. При выполнении условий существования и единственности решения через каждую точку этого пространства проходит единственная кривая и их совокупность образуетn-параметрическое семейство. В качестве параметров может быть взяты, например, начальные условия.
В другой интерпретации, удобной и естественной во многих физических и механических задачах, в пространстве с прямоугольными координатами решение (39) определяет закон движения по некоторой траектории в зависимости от изменения времени. В этих задачах производная будет скоростью движения точки, а - координатами скорости той же точки. Система (41) обычно называется динамической, пространство с координатами x1, x2, x3,………., xnназывается фазовым, а кривая X=X(t) фазовой траекторией.
|
Одним и основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений системы (38) и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений, входящих в систему, исключают все неизвестные кроме одной. В результате получают одно дифференциальное уравнение, решая которое находят одну неизвестную, а остальные без интеграций получают из уравнений системы и полученных дифференцированием.
Пример13.1. Решить
Дифференцируем, например, первое уравнение и подставляем dy/dt во второе. Получим дифференциальное уравнение второго порядка
общее решение которого x = C1e-t + C2et. Дифференцируя полученное решение, учитывая первое уравнение, имеем y =- C1e-t + C2et. Решение системы найдено.
Пример13.2. Найти решение системы
Дифференцируем два раза второе уравнение и подставляем в первое. Полученное уравнение линейное неоднородное 4-го порядка
Характеристическое уравнение соответствующего однородного (k4-1)=0 имеет корни k1,2=±1, k3,4=±i, а уравнение – общее решение y0= C1e-t + C2et+ C3Cost+ C4 Sint. Нетрудно проверить, что частным решением будет yч =0.125e2t. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения получено в виде
y= C1e-t + C2et+ C3Cost+ C4 Sint+0.125e2t.
Решение для второй неизвестной получим, дифференцируя два раза найденное
x= C1e-t + C2et- C3Cost - C4 Sint +0.5 e2t.
Задача решена.
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!