Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2022-09-15 | 32 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Сервативных системах, поддерживае-
Мые за счет непериодических источ-
Точников.
Александр Андронов [5]
Автоколебательные системы
В реальных окружающих нас в природе и в технике колебательных системах имеют место те или иные силы сопротивления. Это приводит к тому, что свободные колебания в таких системах затухают и сами системы являются неконсервативными. Затухание свободных колебаний представляется достаточно естественным их свойством. Поскольку на преодоление сил сопротивления необходимо затратить определенную работу, собственные колебания осциллятора будут затухать, если со стороны нет притока энергии. Однако оказывается, что в определенных ситуациях в неконсервативном осцилляторе могут возникать в некотором смысле самопроизвольные колебательные движения. Диссипативные системы, в которых генерируются такие колебательные движения, называются автоколебательными, и их изучению и посвящен данный раздел. Типичными автоколебательными системами являются скрипичная струна, по которой равномерно скользит смычок, различные радиотехнические генераторы. Автоколебательным явлением будет и возникновение скрипа, когда мы пишем мелом на доске или протираем хрустальный бокал. Автоколебаниями являются и флаттер крыла самолета, и свист телеграфных проводов. Автоколебательными системами являются часы, двигатели внутреннего сгорания да практически все технологические устройства, в которых имеют место незатухающие колебания при отсутствии периодической подкачки извне. Чтобы пояснить суть явления автоколебаний, рассмотрим простейший линейный осциллятор с сухим трением.
|
Линейный осциллятор
С сухим (кулоновским) трением
В случае движения по твердой поверхности обычно можно считать, что возникающая между соприкасающимися телами величина силы трения скольжения не зависит от скорости и постоянна[6]. В поле тяжести эта сила пропорциональна силе нормального давления на поверхность вдоль которой происходит движение
, (4.1)
где – коэффициент трения, а – скорость движения. Таким образом, линейный осциллятор (2.3), на который действует сила трения (4.1), описывается уравнением
. (4.2)
Это уравнение можно заменить системой двух уравнений
для ,
для . (4.2а)
Легко установить, что движение этого осциллятора будет периодическим и затухающим, причем на -м полупериоде амплитуда колебания равна . График колебаний показан на рис. 4.1. Траектория движения на фазовой плоскости , имеет вид сворачивающейся спирали (рис. 4.2).
Рис. 4.1. Характер колебаний при наличии
Рис. 4.2. Траектория движения на фазовой плоскости осциллятора
с сухим трением
Активная колебательная система.
Генератор Ван-дер-Поля
Что произойдет, если на осциллятор (4.2) действует сила с «положительным» коэффициентом трения? Обращаясь к эквивалентной системе уравнений (4.2а), можно показать, что теперь движение осциллятора будет ускоряющимся. Его траектория на фазовой плоскости описывается разворачивающейся спиралью и показана на рис. 4.3. Как реализовать подобную систему? Ясно, что для этого требуется источник энергии. Простейший пример механической автоколебательной системы показан на рис. 4.4. Здесь приведен обычный линейный осциллятор, представляющий собой груз (материальную точку) на пружинке, двигающийся в горизонтальной плоскости, так что в данный момент времени его скорость равна . В свою очередь груз находится на движущейся с постоянной скоростью ленте. Действующую на груз силу трения будем считать силой трения скольжения. Она, очевидно, зависит от относительной скорости движения груза по ленте и равна
|
при и при .
В такой системе возникают, как принято говорить, автоколебания, т. е. незатухающие колебания, поддерживаемые в нелинейной диссипативной системе внешними источниками энергии[7]. Вид и свойства этих колебаний определяются самой системой и не зависят от начальных условий[8].
Последовательное изучение автоколебательных систем было начато более полувека назад при исследовании различных радиотехнических устройств. Типичной автоколебательной системой является ламповый автогенератор, показанный на рис. 4.5. Здесь и r – соответственно индуктивность, емкость и сопротивление в цепи колебательного контура, – взаимная индукция между анодной цепью и колебательным контуром в цепи сетки. Напряжение на сетке лампы (или на обкладках конденсатора) описывается уравнением
, (4.3)
где – анодный ток, который является функцией напряжения, поэтому уравнение (4.3) можно переписать так:
. (4.3а)
Рис. 4.3. Траектория движения на фазовой плоскости осциллятора
с «положительным» трением
Рис. 4.4. Механический пример
автоколебательной системы Рис. 4.5. Ламповый автогенератор
Теперь разберемся в условиях, которые необходимы, чтобы подобный автоколебательный режим в системе возник.
Если ток пропорционален напряжению , то уравнение (4.3а) становится линейным
(4.3в)
и наличие индуктивности просто приводит к уменьшению эффективной диссипации в цепи. Следовательно, в линейной системе автоколебательный режим отсутствует[9], и для их возникновения нелинейность уравнения (4.3а) принципиальна. В общем же случае ток является нелинейной функцией напряжения, т. е. его можно аппроксимировать полиномом
|
.
В частности, если , приходим к уравнению Ван-дер-Поля
. (4.4)
Dynamical chaos will be used to denote
the sensitive dependence of the phase-space
trajectories upon the initial conditions of the
system.
J.R. Dorfman
Поскольку в естественных науках
теорию нельзя доказать – ее можно
только опровергнуть.
Герман Хакен
Динамические системы.
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!