Методический подход к проектно-баллистическим расчётам верхних ступеней ракет-носителей

Задача разработки методики баллистического расчёта на внеатмосферном участке траектории сводится к отысканию аналитических зависимостей, связывающих потери характеристической скорости и координаты конца активного участка верхней ступени ракеты-носителя с проектно-баллистическими параметрами. Построение подобных аналитических соотношений подразумевает проведения достаточно большого объёма расчетов методом численного интегрирования дифференциальных уравнений движения. Для верхних ступеней система уравнений движения упрощается, поскольку не учитывается влияние атмосферы на траекторные переменные. Однако, допущение  относится только к первой ступени носителя и не распространяется на последующие. С учётом вышеизложенного система дифференциальных уравнений движения верхней ступени многоступенчатой ракеты-носителя перепишется как

(19)

где  км³/с²,  = 9,81 м/с², R = 6371 км,  высота полёта,  угол наклона траектории к местному горизонту,  угол тангажа,  угол атаки,  полярный угол.

Время полета  верхней ступени имеет вид

.                                  (20) 

Система дифференциальных уравнений движения (19) решается численным методом и может быть использована на ранних этапах проектирования при выборе проектно-баллистических параметров, формировании облика проектируемой ракеты, проведению сравнительного анализа альтернативных вариантов конструктивных решений. Результаты баллистических расчётов в дальнейшем используются в качестве граничных условий при проектировании ракеты. Программа угла тангажа реализуется функциональными зависимостями с произвольными величинами, значения которых определяются в процессе решения краевой задачи.

На рис. 10…12 показаны типовые зависимости ,  и  для различных ступеней многоступенчатых ракет-носителей.

В общем случае при формировании программы управления ракеты-носителя руководствуются следующими основными требованиями:

–выведение на орбиту максимальной массы полезной нагрузки при условии выполнения возможных ограничений на траекторные переменные;

– выполнение ограничений на динамические параметры движения на траектории активного участка траектории;

– обеспечение падения отработавших ракетных блоков и головного обтекателя в заданные районы земной поверхности;

– получения необходимой исходной информации для расчета параметров бортового полетного задания: программ по углам тангажа,

Рис. 10. Программа изменения угла тангажа, угла наклона вектора скорости и угла атаки на АУТ второй и третьей ступеней трехступенчатой РН.

 

рыскания, кажущейся скорости, коэффициентов и установочных значений функционалов управления и т.д.

Не смотря на многообразие возможных программ управления по времени полёта, при проведении проектировочных баллистических расчётов угол тангажа (угла между осью ракеты и стартовым горизонтом) удобно представить в следующем виде

 =  + · .                                (21)

 

Эта программа близка к оптимальной, полученной в результате решения вариационной задачи, решаемой, например, используя принцип максимума Л.С. Понтрягина.

 

Рис. 11. Программа изменения угла тангажа, угла наклона вектора скорости и угла атаки на участках траектории второй и третьей ступеней трехступенчатой РН при наличии четвертого активного участка – этапа «доразгона».

 

Напомним, что системы уравнений (1) и (19) получены без учёта влияния вращения Земли на конечную скорость. При этом движение рассматривалось в системе координат, связанной с вращением Земли. Теперь нам необходимо построить зависимости пересчёта модуля относительной скорости во вращающейся системе к модулю абсолютной скорости в инерциальной системе координат. В дальнейшем под инерциальной системой будем понимать систему отсчёта, связанную с центром Земли и не изменяющую своего положения относительно звёзд.

 

Рис. 12. Программа изменения угла тангажа, угла наклона вектора скорости и угла атаки на участке «доразгона». За начало отсчета полярного угла  принимается t _отд: t _отд– момент отделения ОБ от РН, t _н – момент начала «доразгона», t _п – момент отсечки маршевого двигателя при сохранении тяги управляющих двигателей.

 

Введём допущение. Будем считать, что влияния вращения Земли на центробежное и кориолисова ускорения отсутствуют. Но это не означает, что мы не будем учитывать влияние начальной скорости от вращения Земли в точке старта на абсолютную скорость. Если известна угловая скорость вращения Земли ω, широта точки старта φ_c и модуль её радиуса-вектора r _c, то выражение начальной скорости запишется как

 = ω· r _c·cosφ_c                                     (22)

где ω = 7, 292116·10^-5с^-1.

Выражение (22) можно упростить, приняв r _c = R.

Для того, чтобы связать относительную скорость с абсолютной нам также необходимо знать наклонение орбиты выведения i оносительно экваториальной плоскости Земли. Будем считать, что в общем случае выведение полезной нагрузки с помощью ракеты-носителя осуществляеся в точку перигея эллиптической орбиты. Терминальными (конечными) условиями являются: высота перицентра, скорость в перицентре, угловое положение точки выведения в плоскости орбиты и наклонение плоскости орбиты к плоскости экватора. При выведении полезной нагрузки на круговую эллиптическую орбиту терминальными условиями являются: высота и наклонение орбиты. Однако, согласно принятым допущениям, движение ракеты рассматривается в системе координат, вращяющейся с Землёй, без учёта переносного и кориолисова ускорения от суточного вращения Земли. В дальнейшем скорость во вращающейся системе координат будем обозначать через  и называть относительной скоростью, а в инерциальной системе координат соответственно через  и называть абсолютной скоростью.

Зависимости, связывающие относительную и абсолютную скорости могут быть полученыприближённо из сферических треугольников, где сторонами треугольника являются составляющие скоростей. Ниже предлагается расчётная формула определения относительной скорости в конце активного участкатраектории (АУТ) во вращающейся системе в функции абсолютной скорости в инерциальной системе координат [2]:

 =  +  – 2 · cos i / cos .               (23)

При выведении полезной нагрузки на НОО терминальными (конечными) условиями будут cответствующие равенства:

 =  ; h _к = ; _к = 0,                 

где  – первая космическая скорость, соответствующая низкой опорной орбите.

 

В табл. 2 показано влияние расположения космодрома на его начальную скорость в точке старта. Как видно, географическое положение точки старта заметно влияет на энергетические возможности ракеты-носителя.

Таблица 2