Что такое нелинейная динамика?

Итак, мы познакомились с важным разделом нелинейной физики — синергетикой, её основными понятиями и узнали, какое место она занимает в системе современных наук. Богатая свежими физическими и философскими идеями, синергетика использует новый математический аппарат — нелинейную динамику, которая также отличается от классического математического анализа Ньютона и Лейбница. В этом разделе мы постараемся, не вдаваясь в детали, помочь читателю составить общее представление о нелинейной динамике.

Нелинейная динамика — раздел современной математики, который занимается исследованием нелинейных динамических систем.

Под динамической системой условились понимать систему любой природы (физическую, химическую, биологическую, социальную, экономическую и т.п.), состояние которых определяется набором величин, называемых параметрами состояния, или динамическими переменными, такими, что их значения в любой последующий момент времени по определённому правилу получаются из их значений в начальный момент времени. Это правило осуществляет оператор эволюции.

Нелинейная динамика использует при изучении систем нелинейные модели — чаще всего дифференциальные уравнения и дискретные отображения.

Дать точное определение того, что составляет предмет нелинейной динамики, ничуть не легче, чем определить, что составляет предмет теории колебаний. Перефразируя Л.И. Мандельштама («Лекции по теории колебаний»), можно сказать, что «было бы бесплодным педантизмом стараться «точно» определить, какими именно процессами занимается теория колебаний. Важно не это. Важно выделить руководящие идеи, основные общие закономерности».

Следует подчеркнуть, что нелинейной называется теория, в частности нелинейная теория динамических систем, или нелинейная динамика, использующая нелинейные математические модели. Но нелинейная теория не обязательно ограничивается изучением нелинейных явлений или закономерностей.

Мир нелинейных закономерностей, или функций, так же как и стоящий за ним мир нелинейных явлений, страшит, покоряет и неотразимо манит своим неисчерпаемым разнообразием. Здесь нет места чинному стандарту, здесь безраздельно господствует изменчивость и буйство форм. То, что точно схватывает и переходит характерные особенности одного класса нелинейных функций, ничего не говорит даже о простейших особенностях типичного представителя другого класса нелинейных функций. Геометрический образ нелинейной функции — кривая на плоскости, искривлённая поверхность или гиперповерхность в пространстве трёх или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придаётся приращение. Почти полным «безразличием» к изменению одних и повышенной, острой чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции поразительно контрастируют с линейными функциями. Любая линейная функция откликается на приращение независимой переменной одним и тем же приращением своего значения, в какой бы части области определения ни находилось то значение независимой переменной, которой придаётся приращение. Именно здесь и проходит демаркационная линия между миром линейных и нелинейных явлений и зависимостей.

Что же касается границы между линейными и нелинейными теориями, то её принято проводить по иному признаку. Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой — линейный или нелинейный — математический аппарат, какие — линейные или нелинейные — математические модели она использует.

Неповторимая отличительная особенность линейной теории, безвозвратно утрачиваемая при переходе к нелинейной теории» — принцип суперпозиции — позволяет физику конструировать любое состояние из определённого набора частных состояний, образуя их линейные комбинации, или суперпозиции.

Физики, делавшие первые, ещё неуверенные шаги в области нелинейного, где всё было «не так», всё или по крайней мере многое противоречило устоявшимся линейным представлениям и линейной интуиции, питали несбыточную надежду, что милый их сердцу привычный математический аппарат путём различного рода ухищрений (малых добавочных членов) удастся приспособить к решению новых нелинейных задач. Тех, кто питал такие надежды, ожидало разочарование: линейный математический аппарат отторгал чужеродную ткань нелинейных включений. «Искусственная линеаризация» оказывалась малоэффективной и «большей частью ничему не научила, а иногда бывала прямо вредной» (Л.И. Мандельштам).

Особенностью нелинейной теории было не только отсутствие принципа суперпозиции, но и наличие обратной связи: система воздействовала на самоё себя.

Неправильное перенесение линейного опыта и линейной интуиции на нелинейную почву не только лишено последовательности и наносит ущерб эстетической привлекательности теории (тем самым сигнализируя о нарушении сформулированного П.A.M. Дираком критерия математической красоты физической теории), но и чревато грубым искажением существа происходящих процессов. Руководствуясь обманчивыми показаниями ставшего ненадёжным компаса линейной теории, нетрудно впасть в ошибку и проглядеть важный эффект, не имеющий линейных аналогов.

Ещё на дальних подступах к бескрайним просторам нелинейности исследователь вынужден отказаться от линейных вех, способных скорее дезориентировать, чем указывать верное направление. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, физик порой был вынужден становиться на путь своего рода «математического старательства» и приниматься решать нелинейные задачи «поштучно», используя их специфические индивидуальные особенности и полагаясь больше на удачу — пресловутый старательский «фарт». «Тот путь, конечно, сам по себе правилен, — писал Л.И. Мандельштам в предисловии к знаменитой (и многострадальной) «Теории колебаний» А.А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина. — Идя по нему, ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие своё значение и в настоящее время. И сейчас, иногда, удобно в том или ином случае идти по этому пути».

Но не говоря уже о том, что фактически такие решения разрозненных отдельных задач не имели достаточного математического обоснования, весь этот путь в качестве, так сказать, большой дороги вряд ли целесообразен, так как он не ведёт к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области нелинейных колебаний в уже известной нам её части, и, что ещё важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития».

Выделенные курсивом слова «нелинейных колебаний» не умаляют общности утверждения. Их вполне можно заменить словами «нелинейной физики», ведь они принадлежат Л.И. Мандельштаму.

Чтобы не влачить жалкое существование приживалки линейной теории и не быть низведённой до положения учёной хранительницы обширного собрания разрозненных решённых задач, нелинейная физика должна была обрести внутреннее единство и автономию от своей предшественницы — линейной физики. Необходимо создать «нелинейную культуру, включающую надёжный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах» (А.А. Андронов).

Основоположником и создателем нелинейного физического мышления стал замечательный физик — наш соотечественник академик Леонид Исаакович Мандельштам.

Список литературы

1. Синергетике 30 лет. Интервью с профессором Хакеном. Проведено Е.Н. Князевой // Вопросы философии. 2000. № 3. С. 53–61.

2. Хакен Г. Принципы работы головного мозга. М.: Per Se, 2001.

3. Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М.: Прогресс-Традиция, 2000.

4. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

5. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах. М.: Мир, 1985.

6. Хакен Г., Хакен-Крелль М. Тайны восприятия. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

7. Нейман Дж. фон. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971.

8. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 339.

9. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. Т. 44. № 8. С. 339–342.

10. Hopf E. A mathematical example displaying the features of turbulence // Comm. Pure Appl. Math. 1948. V. 1. P. 303–322.

11. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // В сб. «Странные аттракторы» (Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова). М.: Мир, 1981. С. 88–116.

12. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167–192.

13. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990.

14. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление. М., 1989.

15. Gell-Mann M. Quark and the Jaguar. Adventures in the Simple and the Complex. London: Abacus, 1995. P. 11.

16. Mainzer K. Thinking in Complexity. The Complex Dynamics of Matter, Mind, and Mankind. Berlin; Springer-Verlag, 1994. P. 13.

17. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002.

18. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979. С. 152.

19. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. М.: Наука, 1984. С. 166.

20. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. М.: Прогресс, 1999.