Виды расчетов на прочность и жесткость

Для обеспечения надежной работы и долговечности деталей машин, конструкций и сооружений проводятся различные расчеты. Наиболее распространенными являются расчеты на прочность и жесткость.

Расчет на прочность.

Условие прочности выражается неравенством:

 

                                           (27)

где   τ _max – наибольшее касательное напряжение при кручении;

   τ _adm - допускаемое касательное напряжение при кручении.

В большинстве случаев допускаемые касательные напряжения на кручение принимают в зависимости от допускаемых нормальных напряжений на растяжение для того же материала:

- для стали τ _adm (0,55…0,6) σ _adm;

 

- для чугуна

 

Эти значения допускаемых касательных напряжений относятся к случаям работы элементов конструкций на чистое кручение при статическом нагружении. 

Валы, рассчитываемые на кручение, кроме кручения, испытывают изгиб и действие переменных во времени напряжений. Поэтому при расчете валов на кручение статической нагрузкой необходимо принять пониженные значения допускаемых напряжений. Для валов из конструкционной углеродистой  стали принимают τ _adm =15-35 Мпа.

Кроме того, допускаемое напряжение зависит от свойств материала стержня и от принятого коэффициента запаса прочности:

- для пластичного материала допускаемое касательное напряжение определяется по пределу текучести при кручении

 

                                                                                            (28)

 

где   τ_Т – предел текучести при кручении;

  n -  запас  прочности;

- для хрупкого материала допускаемое касательное напряжение определяется по пределу прочности при кручении

 

                                                                                                        (29)

 

где τ_В – предел прочности при кручении;

  n -  запас  прочности.

В зависимости от поставленной задачи различают следующие виды расчета на прочность:

- проверочный расчет (проверка наибольшего расчетного напряжения в стержне)

                                                                                 (30)

 

- проектный расчет ( подбор размеров поперечного сечения стержня):

 

                                                                                      (31)

 

Размеры поперечных сечений круглых стержней (диаметр d, м для стержня круглого сплошного поперечного сечения; диаметры D и d, м для стержня круглого полого поперечного сечения) для участка стержня, в пределах которого усилие М _z и жесткость поперечного сечения постоянны, из условия прочности будут определяться по формулам:

 

 

- для круглого сплошного сечения с учетом того, что	- для круглого полого сечения с учетом того, что

 

При расчете валов часто бывают заданы передаваемая мощность Р и угловая скорость вращения вала ω или число оборотов n. При этом размеры поперечных сечений будут определяться по формулам:

 

- для круглого сплошного сечения	- для круглого полого сечения
Если задана мощность Р, кВт и угловая скорость вращения вала ω, рад/с или число оборотов n, об/мин (с учетом того, что , Нм)
(34)         (35)	(36)    (37)
Если задана мощность Р, л.с. и угловая скорость вращения вала ω, рад/с или число оборотов n, об/мин (с учетом того, что , Нм)
(38)           (39)	(40)   (41)

     

  - определение допускаемого значения крутящего момента

 

                                                                                    (42)

 

Расчет на жесткость.

Для нормальной работы некоторых конструкций необходимо, чтобы деформации их элементов не превышали допускаемой величины. При чрезмерно большой длине вал может получать большие углы закручивания. При остановках это вызывает явление пружинения, которое выводит из строя подшипники. Большие углы закручивания особенно опасны при передаче переменного во времени момента, так как при этом возникают опасные для прочности бруса крутильные колебания.

Условие жесткости  стержня при кручении выражается неравенством:

 

                                                                                              (43)

 

где φ – абсолютный угол закручивания, рад, гр ад;

  φ _adm – допускаемыйабсолютный угол закручивания, рад, град;

или

                                                                                             (44)

 

где - относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины), рад/м, град/м;

    θ _adm – допускаемый относительный угол закручивания, рад/м, град/м.

Значения допускаемых относительных углов закручивания θ _adm для разных конструкций и разных видов нагрузки колеблются в широких пределах: от 0,002 до 0,035 рад/м или от 0,15 до 2 град/м;наиболее распространены значения  от 0,00438 до 0,0175 рад/м или от 0,25 до 1 град/м.

В зависимости от поставленной задачи различают следующие виды расчета на жесткость:

- проверочный расчет

По абсолютному углу закручивания	По относительному углу закручивания
(45)	(47)
(46)	(48)

 

- проектный расчет

По абсолютному углу закручивания	По относительному углу закручивания
(49)	(51)
(50)	(52)

                   

                           

Размеры поперечных сечений круглых стержней (диаметр d, м для стержня круглого сплошного поперечного сечения; диаметры D и d, м для стержня круглого полого поперечного сечения) для участка стержня, в пределах которого усилие М _z и жесткость поперечного сечения постоянны, из условия жесткости будут определяться по формулам:

 

- для круглого сплошного сечения с учетом того, что

По абсолютному углу закручивания	По относительному углу закручивания
- φ adm, рад: - φ o adm, градус:	- θ adm, рад/м: - , град/м:

 

- для круглого полого сечения с учетом того, что                                                     

По абсолютному углу закручивания	По относительному углу закручивания
- φ adm, рад:   - φ o adm, градус:	- θ adm, рад/м:   - θ o adm, град/м:

     

 

  Если задана мощность Р, кВт или л.с., угловая скорость вращения вала ω, рад/с или число оборотов n, об/мин, то размеры поперечных сечений из условия жесткости будут определяться по формулам, приведенным в приложении А.

 

 

   - определение допускаемого значения крутящего момента

По абсолютному углу закручивания	По относительному углу закручивания
(61)	(63)
(62)	(64)

 

 

    1.4Анализ напряженного состояния и разрушения при кручении

В поперечном сечении стержня действуют касательные напряжения, распределенные по линейному закону. В силу закона парности касательных напряжений (τ_α= - τ_β) в диаметральных сечениях также возникают касательные напряжения (рисунок 1.8).

 

 

Рисунок 1.8

 

На гранях элемента, образованного двумя параллельными осевыми и поперечными сечениями, в стержне будут возникать только касательные напряжения – это состояние чистого сдвига (рисунок 1.9).

 

 

Рисунок 1.9

 

Согласно теории напряженного состояния в сечениях, наклоненных к оси, будут действовать также и нормальные напряжения. По площадкам, расположенным под углом 45⁰  к сечению, действуют наибольшие нормальные напряжения.

Таким образом,  при кручении во всех площадках стержня имеет место двухосное неоднородное напряженное состояние.

Характер разрушения (сдвиг или отрыв) бруса при кручении зависит от способности материалов сопротивляться действию касательных и нормальных напряжений:

- при кручении стальных стержней разрушение происходит по сечению перпендикулярному к оси бруса под действием касательных напряжений, действующих в этом сечении (рисунок 1.10);

 

 

Рисунок 1.10

 

- при кручении чугунных стержней разрушение происходит под действием нормальных растягивающих напряжений, максимальные значения которых имеют место в сечениях, идущих по винтовой линии и пересекающих образующие под углом 45⁰ (рисунок 1.11);

 

 

Рисунок 1.11

 

- при кручении деревянных стержней с продольным расположением волокон вдоль оси кручения разрушение происходит от касательных напряжений, действующих вдоль волокон (рисунок 1.12).

 

 

Рисунок 1.12