Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2022-09-11 | 31 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В практических задачах часто возникает необходимость вычисления приближенного значения функции в некоторой точке Абсолютной погрешностью называют абсолютную величину разности между точным и приближенным значением функции в точке Величина погрешности определяет точность вычислений: чем меньше погрешность, тем точнее вычислено значение функции. Рассмотрим некоторые алгоритмы, которые позволяют найти приближенное значении функции, и сопоставим их.
Использование первого дифференциала
При вычислении приближенного значения дифференцируемой функции применима формула (3.4): которой можно придать вид:
(3. 26)
Эта формула проста в применении, но обладает существенным недостатком − нельзя заранее оценить погрешность вычислений.
Использование формулы конечных приращений
Формула конечных приращений (3.21) может быть переписана в виде:
где (3.27)
При малых приращениях аргумента полагают при этом абсолютная погрешность
Использование формулы Тейлора
При помощи формулы Тейлора -го порядка (3.24) вычисление приближенного значения функции сводится к вычислению значения многочлена Тейлора -й степени в точке , при этом абсолютная погрешность С увеличением порядка формулы Тейлора погрешность уменьшается.
Если использовать обозначение то формула для вычисления приближенного значения примет вид:
(3.28)
|
где абсолютная погрешность
Пример 3.24. Вычислить приближенное значение , используя: 1) первый дифференциал; 2) формулу конечных приращений; 3) формулу Тейлора 2-го порядка и сопоставить результаты.
□ Введем функцию Эта функция определена, непрерывна и дифференцируема произвольное число раз при
1) При применении формулы (3.26) положим Производная Тогда По формуле (3.26) получим;
2) Применяя формулу (3.27), имеем При этом абсолютная погрешность удовлетворяет оценке: при Отсюда следует, что
3) Для применения формулы Тейлора 2-го порядка вычислим вторую и третью производную функции Тогда Согласно формуле (3.28) имеем: или При искомая величина вычисляется по приближенной формуле: .
Теперь оценим погрешность :
Итак,
Последовательно применяя разные формулы для подсчета приближенного значения , мы получили три числа: . Последний результат − самый точный, так как погрешность меньше, чем ■
Пример 3.25. Найти приближенное значение с абсолютной погрешностью, не превосходящей
□ Воспользуемся формулой Маклорена го порядка для функции
Выберем порядок формулы таким образом, чтобы остаточный член формулы Тейлора не превышал заданной погрешности: Выполним оценки: при Подберем такое наименьшее натуральное число , чтобы выполнялось неравенство: Заметим, что при При Произведем подсчет искомой величины по формуле Маклорена 6-го порядка при :
С точностью до ■
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!