С помощью разложения на простые множители

Теорема (первый признак параллелограмма). Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ №__4__

Задача № 4 (Кириллова Н.А.)

   Учитель задал вопрос школьника: «Всегда ли будет существовать предел функции при ? Что вы можете сказать о пределе функции при ?».

   А) какие ответы могут дать учащиеся на эти вопросы?

   Б) Какие ошибки могут допустить при ответе на поставленные вопросы?

   В) Какие бы наводящие вопросы задачи вы обучающемуся, если бы он дал ошибочный ответ?

ОТВЕТ:

Число A называется пределом функции  в точке  (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента ,  (), сходящейся к  (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции , , сходится к числу А .

Рассмотрим предел функции  при .

Тогда последовательность  являетя фундаментальной и, в частности, верно, что

Однако из

А) Существуют, не существует

Б) Не правильно дать ответ о том чему равен предел .

В) Как выглядит синусоидальная функция?

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ № 5

Задача № 5 (Кириллова Н.А.)

На уроке при изучении теоремы о пределе суммы двух функций, имеющих предел, учитель задал следующую задачу: «Вычислите предел суммы функций  и , т.е. , для случаев:

1)  при ;     2)  при ;

3)  при ; 4)  при ».  

а) Какие ошибки могут допустить ученики при решении этой задачи?

б) Какие бы наводящие вопросы задали вы обучающемуся, если бы он дал ошибочный ответ?

в) Решите поставленную учителем задачу.

г) Приведите примеры функций для каждого случая, указанного в задаче. Вычислите полученные пределы функций.

А) Дети могут запутаться и в следствии этого допустить ошибку.

Б)

В) 1)

2)

3)

4)

Г) 1)

2)

3)

4)

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ №___6___

Задача № 6 (Кириллова Н.А.)

В беседе с Вами по вопросу решения задачи: «Является ли функция  непрерывной в точке ?», Вашодногруппникпривел следующее решение: «  непрерывна в нуле,  также непрерывна в нуле. Следовательно, функция  непрерывна в нуле».

а) Верное ли решение привел ваш собеседник?

Непрерывность сложения, вычитаний, умножения функции f (x), является непрерывной, когда каждое из слагаемых непрерывно в точке, значит функция непрерывна в данной точке.

б) Составьте альтернативный ответ на данную задачу.

f (x) определенна в точке x ₀, если односторонний придел функции равны в точке x = x ₀ и равны f (x), то функция непрерывна.

в) Является ли рассматриваемая в задаче функция непрерывной на множестве всех действительных чисел? Свой ответ обоснуйте.

Непрерывность сложения, вычитаний, умножения функции f (x), является непрерывной, когда каждое из слагаемых непрерывно в точке, значит функция непрерывна в данной точке.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ № 7

Задача № 7 (Кириллова Н.А.)

Следующая задача была задана в качестве домашнего задания Вашей группе: «Функция имеет вертикальную асимптоту х=2. Выберите верное высказывание для этой ситуации: а) точка х=2 точка разрыва первого рода, разрыв неустранимый; б) точка х=2 точка разрыва первого рода, разрыв устранимый; в) точка х=2 точка разрыва второго рода; г) в точке х=2 функция непрерывна. Свой ответ обоснуйте». При ее решении у вашего одногруппника возникли затруднения.

а) Решите данную задачу.

б) Сформулируйте серию наводящих на правильное решение вопросов для своего одногруппника.

в) Приведите примеры функций для каждого случая, указанного в задаче. Исследуйте их на непрерывность.

ОТВЕТ: А)точка  точка разрыва второго рода, так как функция  крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа)не существует в данной точки, а равен бесконечности ().

Б) для определение точки разрыва какое условие надо рассмотреть?

В)

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ №__8__

Задача № 8

Два ученика предложили различные решения задачи. При этом ими были получены различные ответы. Возник спор о корректности решения – каждый ученик отстаивал своё».

Условия задачи: Найдите НОД(50; 75).

Алгоритм простого перебора

Чтобы найти наибольший общий делитель двух данных натуральных чисел можно действовать по определению: выписать все делители этих чисел, выделить среди них общие и выбрать среди всех общих делителей наибольший

Алгоритм Евклида

Из большего числа вычитаем меньшее.

Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла).

Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.

Переходим к пункту 1.

Пример:

Найти НОД для 30 и 18.

30 - 18 = 12

18 - 12 = 6

12 - 6 = 6

6 – 6 = 0 Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое. НОД (30, 18) = 6

2) Первый – разложением на простые множители; Второй – простым перебором

3) первый ученик допустил ошибку, так как 10 – это не простое число и следовало его разложить

4) В заданиях следует уделить внимание разложению на простые числа. Например такие задания: а) Разложить на простые множители числа 42 и 70 и найти их НОД; б) Разложить на простые множители числа 26 и 46, далее найти их НОД.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ№___9___

Ответ.

Найдем неизвестные:

Из уравнения третьего уравнения y= –1.

Подставим y во второе уравнение, находим, что z= –5.

Подставляя найденные значения z и y в первое уравнение, находим, что x=3.

Ответ: x = 3, y = –1, z = – 5.

Выполним проверку.
1. По эквивалентной системе:	2. По исходной системе:
Верно.	Верно.
Вывод: система методом Гаусса решена верно.

Выделите возможные ошибки. Возможны те же ошибки, которые приведены во втором пункте вопроса.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ 10

Задача № 10 (Бобылева О.В.)

«На уроке изучения нового материала по теме «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби» ученикам был предложен следующий алгоритм:

1. Разложите дроби на множители.

2. Если знаменатель имеет вид  или содержит множитель  , то числитель и знаменатель следует умножить на  . Если знаменатель имеет вид  , то числитель и знаменатель дроби надо умножить на выражение, сопряженное знаменателю.

3. Преобразуйте числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократите полученную дробь».

Вопросы к ситуации:

1. Сформулируйте теорему о строении простого алгебраического расширения.

2. Чем отличается метод освобождения от иррациональности в знаменателе дроби, рассматриваемый в теореме, отприведенного на уроке?

3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби , используя обе схемы.

4. Предложите задания для урока-закрепления по данной теме (8 класс).

Решение:

1) Любую иррациональную дробь можно представить в виде многочлена степень которого совпадает с максимальной степенью корня в знаменатели.

Пусть a — алгебраический над полем P элемент положительной степени n. Тогда любой элемент поля P(a)однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1, a,..., an-1 с коэффициентами из Р.

2) Данная теореме сложна в понимании для 8-ого класса, так как поля, кольца в школьном курсе не проходятся.

3) 1 способ (который дан в самой пед. ситуации)

 = =

2 способ (метод освобождения от иррациональности)

4)

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ № 2

На уроке геометрии учитель обратился к учащимся с вопросом: какая фигура будет изображением в пространстве прямоугольного треугольника, равнобедренного треугольника?

1. Дайте определение изображения фигуры

Изображением или чертежом фигуры будем называть фигуру, подобную параллельной или центральной проекции данной фигуры на некоторую плоскость

2. Дайте ответ на вопрос учителя.

Любой треугольник

3. Аргументируйте свой ответ.

Теорема 1: любой треугольник АВС можно изобразить на чертеже любым другим треугольником

Доказательство: нужно доказать, что существует проекция треугольника АВС на некоторую плоскость, которая подобна треугольнику .

Проведем плоскость  содержащую прямую АВ и не проходящую через точку С. Построим в ней ∆ ~ ∆ .

Рассмотрим параллельное проектирование на плоскость П в направлении . При этом ∆АВС отобразиться → ∆ , который подобен ∆ . Значит ∆  можно считать чертежом треугольника АВС.

Задача № 6 (Кириллова Н.А.)

В беседе с Вами по вопросу решения задачи: «Является ли функция  непрерывной в точке ?», Вашодногруппникпривел следующее решение: «  непрерывна в нуле,  также непрерывна в нуле. Следовательно, функция  непрерывна в нуле».

а) Верное ли решение привел ваш собеседник?

Непрерывность сложения, вычитаний, умножения функции f (x), является непрерывной, когда каждое из слагаемых непрерывно в точке, значит функция непрерывна в данной точке.

б) Составьте альтернативный ответ на данную задачу.

f (x) определенна в точке x ₀, если односторонний придел функции равны в точке x = x ₀ и равны f (x), то функция непрерывна.

в) Является ли рассматриваемая в задаче функция непрерывной на множестве всех действительных чисел? Свой ответ обоснуйте.

Непрерывность сложения, вычитаний, умножения функции f (x), является непрерывной, когда каждое из слагаемых непрерывно в точке, значит функция непрерывна в данной точке.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ №__3__

Задача № 3 (Майнагашева Е.Б.)

В процессе изучения темы «Векторы» полезно ознакомить учащихся с геометрическими задачами, решение которых с использованием понятия вектора значительно упрощается.

Пример. Доказать, что середины сторон произвольного (не обязательного плоского) четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

1) Решите задачу несколькими способами, в том числе, векторным. Проиллюстрировав тем самым рациональность применения векторного метода.

2) Выделите основной теоретический материал темы, используемый при решении данной задачи.

1)

I. способ

Дано: ABCD - четырехугольник;

М, N, К, Е - середины сторон.

Доказать: MNKE - параллелограмм.

Доказательство:

II. способ (векторный)

Дано: ABCD - четырехугольник;

М, P, T, K - середины сторон.

Доказать: MPTK - параллелограмм.

Доказательство:

Через точки М, P, T, K построим четырехугольник. Пусть точка О - пересечение диагоналей четырехугольника МPTK. Построим векторы OP, OK, OM, OT, OB, OC, OD, OA.

Тогда по правилу параллелограмма (сложение векторов):

1)

2)

3)

Аналогично можно доказать, что: по признакам параллелограмма четырёхугольник МPTK является параллелограммом.

2) теория:

 коллинеарными векторами.

Векторы называются равными если они соноправлены и и длины равны.

Неколлинеарные векторы – это векторы, не лежащие на параллельных прямых. Другими словами, параллельные вектора называются коллинеарными.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы и  и построить параллелограмм АВСD. Тогда вектор равен .